Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57312 / 45344
↖ ↑ ↗
← N 48.400033°
W 22.587890°		 ← 202.74 m → N 48.400033°
W 22.585144°		 →
↑
202.79 m
↓
↑
202.79 m
↓
N 48.398209°
W 22.587890°		 ← 202.74 m →
41 114 m²		 N 48.398209°
W 22.585144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437259674072266 y=0.345951080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437259674072266 × 217)
    floor (0.437259674072266 × 131072)
    floor (57312.5)     		tx = 57312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345951080322266 × 217)
    floor (0.345951080322266 × 131072)
    floor (45344.5)     		ty = 45344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57312 / 45344 ti = "17/57312/45344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57312/45344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57312 ÷ 217
    57312 ÷ 131072     		x = 0.437255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45344 ÷ 217
    45344 ÷ 131072     		y = 0.345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345947265625 × 2 - 1) × π
    0.30810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.967941877128174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39423306} λ = -0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.967941877128174))-π/2
    2×atan(2.63252082869139)-π/2
    2×1.20776812595292-π/2
    2.41553625190584-1.57079632675     		φ = 0.84473993
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84473993 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.400033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57312 KachelY 45344 -0.39423306 0.84473993 -22.587890 48.400033
    Oben rechts KachelX + 1 57313 KachelY 45344 -0.39418513 0.84473993 -22.585144 48.400033
    Unten links KachelX 57312 KachelY + 1 45345 -0.39423306 0.84470810 -22.587890 48.398209
    Unten rechts KachelX + 1 57313 KachelY + 1 45345 -0.39418513 0.84470810 -22.585144 48.398209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84473993-0.84470810) × R
    3.1830000000066e-05 × 6371000     		dl = 202.78893000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84473993-0.84470810) × R
    3.1830000000066e-05 × 6371000     		dr = 202.78893000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39423306--0.39418513) × cos(0.84473993) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663925784885643 × 6371000     		do = 202.737725442147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39423306--0.39418513) × cos(0.84470810) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.663949586974621 × 6371000     		du = 202.744993696356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84473993)-sin(0.84470810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.663925784885643-0.663949586974621)×R²
    abs(-0.39418513--0.39423306)×2.38020889774537e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38020889774537e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38020889774537e-05×40589641000000     		ar = 41113.7033772809m²