Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57311 / 85366
↖ ↑ ↗
← S 47.735629°
W 22.590637°		 ← 205.41 m → S 47.735629°
W 22.587890°		 →
↑
205.40 m
↓
↑
205.40 m
↓
S 47.737476°
W 22.590637°		 ← 205.41 m →
42 192 m²		 S 47.737476°
W 22.587890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437252044677734 y=0.651294708251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437252044677734 × 217)
    floor (0.437252044677734 × 131072)
    floor (57311.5)     		tx = 57311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651294708251953 × 217)
    floor (0.651294708251953 × 131072)
    floor (85366.5)     		ty = 85366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57311 / 85366 ti = "17/57311/85366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57311/85366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57311 ÷ 217
    57311 ÷ 131072     		x = 0.437248229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85366 ÷ 217
    85366 ÷ 131072     		y = 0.651290893554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437248229980469 × 2 - 1) × π
    -0.125503540039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39428100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651290893554688 × 2 - 1) × π
    -0.302581787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.950588719465714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39428100} λ = -0.39428100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950588719465714))-π/2
    2×atan(0.386513408493057)-π/2
    2×0.36882621467698-π/2
    0.73765242935396-1.57079632675     		φ = -0.83314390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39428100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.590637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83314390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.735629°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57311 KachelY 85366 -0.39428100 -0.83314390 -22.590637 -47.735629
    Oben rechts KachelX + 1 57312 KachelY 85366 -0.39423306 -0.83314390 -22.587890 -47.735629
    Unten links KachelX 57311 KachelY + 1 85367 -0.39428100 -0.83317614 -22.590637 -47.737476
    Unten rechts KachelX + 1 57312 KachelY + 1 85367 -0.39423306 -0.83317614 -22.587890 -47.737476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83314390--0.83317614) × R
    3.22399999999057e-05 × 6371000     		dl = 205.401039999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83314390--0.83317614) × R
    3.22399999999057e-05 × 6371000     		dr = 205.401039999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39428100--0.39423306) × cos(-0.83314390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.672552446186023 × 6371000     		do = 205.414828565041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39428100--0.39423306) × cos(-0.83317614) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.67252858664182 × 6371000     		du = 205.407541246097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83314390)-sin(-0.83317614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672552446186023-0.67252858664182)×R²
    abs(-0.39423306--0.39428100)×2.38595442021428e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38595442021428e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38595442021428e-05×40589641000000     		ar = 42191.6710106009m²