Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57311 / 85218
↖ ↑ ↗
← S 47.461523°
W 22.590637°		 ← 206.49 m → S 47.461523°
W 22.587890°		 →
↑
206.42 m
↓
↑
206.42 m
↓
S 47.463379°
W 22.590637°		 ← 206.49 m →
42 624 m²		 S 47.463379°
W 22.587890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437252044677734 y=0.650165557861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437252044677734 × 217)
    floor (0.437252044677734 × 131072)
    floor (57311.5)     		tx = 57311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650165557861328 × 217)
    floor (0.650165557861328 × 131072)
    floor (85218.5)     		ty = 85218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57311 / 85218 ti = "17/57311/85218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57311/85218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57311 ÷ 217
    57311 ÷ 131072     		x = 0.437248229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85218 ÷ 217
    85218 ÷ 131072     		y = 0.650161743164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437248229980469 × 2 - 1) × π
    -0.125503540039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39428100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650161743164062 × 2 - 1) × π
    -0.300323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.943494058321945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39428100} λ = -0.39428100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.943494058321945))-π/2
    2×atan(0.389265340623798)-π/2
    2×0.371218245513074-π/2
    0.742436491026149-1.57079632675     		φ = -0.82835984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39428100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.590637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82835984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.461523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57311 KachelY 85218 -0.39428100 -0.82835984 -22.590637 -47.461523
    Oben rechts KachelX + 1 57312 KachelY 85218 -0.39423306 -0.82835984 -22.587890 -47.461523
    Unten links KachelX 57311 KachelY + 1 85219 -0.39428100 -0.82839224 -22.590637 -47.463379
    Unten rechts KachelX + 1 57312 KachelY + 1 85219 -0.39423306 -0.82839224 -22.587890 -47.463379
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82835984--0.82839224) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dl = 206.420400000277m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82835984--0.82839224) × R
    3.24000000000435e-05 × 6371000     		dr = 206.420400000277m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39428100--0.39423306) × cos(-0.82835984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676085177296438 × 6371000     		do = 206.49381557866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39428100--0.39423306) × cos(-0.82839224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.676061303860994 × 6371000     		du = 206.486524016974m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82835984)-sin(-0.82839224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.676085177296438-0.676061303860994)×R²
    abs(-0.39423306--0.39428100)×2.38734354435222e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38734354435222e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38734354435222e-05×40589641000000     		ar = 42623.7834494952m²