Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57310 / 9067
↖ ↑ ↗
← N 78.230117°
E134.813232°		 ← 124.59 m → N 78.230117°
E134.818725°		 →
↑
124.55 m
↓
↑
124.55 m
↓
N 78.228997°
E134.813232°		 ← 124.60 m →
15 519 m²		 N 78.228997°
E134.818725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874488830566406 y=0.138359069824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874488830566406 × 216)
    floor (0.874488830566406 × 65536)
    floor (57310.5)     		tx = 57310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138359069824219 × 216)
    floor (0.138359069824219 × 65536)
    floor (9067.5)     		ty = 9067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57310 / 9067 ti = "16/57310/9067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57310/9067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57310 ÷ 216
    57310 ÷ 65536     		x = 0.874481201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9067 ÷ 216
    9067 ÷ 65536     		y = 0.138351440429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874481201171875 × 2 - 1) × π
    0.74896240234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35293478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138351440429688 × 2 - 1) × π
    0.723297119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2723049157899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35293478} λ = 2.35293478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2723049157899))-π/2
    2×atan(9.70173674918219)-π/2
    2×1.46808472040839-π/2
    2.93616944081677-1.57079632675     		φ = 1.36537311
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35293478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.813232°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36537311 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.230117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57310 KachelY 9067 2.35293478 1.36537311 134.813232 78.230117
    Oben rechts KachelX + 1 57311 KachelY 9067 2.35303065 1.36537311 134.818725 78.230117
    Unten links KachelX 57310 KachelY + 1 9068 2.35293478 1.36535356 134.813232 78.228997
    Unten rechts KachelX + 1 57311 KachelY + 1 9068 2.35303065 1.36535356 134.818725 78.228997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36537311-1.36535356) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dl = 124.553049999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36537311-1.36535356) × R
    1.95499999999793e-05 × 6371000     		dr = 124.553049999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35293478-2.35303065) × cos(1.36537311) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.203981496713579 × 6371000     		do = 124.589403498946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35293478-2.35303065) × cos(1.36535356) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204000635630838 × 6371000     		du = 124.601093315539m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36537311)-sin(1.36535356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203981496713579-0.204000635630838)×R²
    abs(2.35303065-2.35293478)×1.91389172589373e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91389172589373e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91389172589373e-05×40589641000000     		ar = 15518.7182053371m²