Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57310 / 85370
↖ ↑ ↗
← S 47.743017°
W 22.593384°		 ← 205.39 m → S 47.743017°
W 22.590637°		 →
↑
205.34 m
↓
↑
205.34 m
↓
S 47.744864°
W 22.593384°		 ← 205.38 m →
42 173 m²		 S 47.744864°
W 22.590637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437244415283203 y=0.651325225830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437244415283203 × 217)
    floor (0.437244415283203 × 131072)
    floor (57310.5)     		tx = 57310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651325225830078 × 217)
    floor (0.651325225830078 × 131072)
    floor (85370.5)     		ty = 85370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57310 / 85370 ti = "17/57310/85370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57310/85370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57310 ÷ 217
    57310 ÷ 131072     		x = 0.437240600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85370 ÷ 217
    85370 ÷ 131072     		y = 0.651321411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437240600585938 × 2 - 1) × π
    -0.125518798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39432894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651321411132812 × 2 - 1) × π
    -0.302642822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.950780467064194
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39432894} λ = -0.39432894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.950780467064194))-π/2
    2×atan(0.38643930258024)-π/2
    2×0.368761739093511-π/2
    0.737523478187022-1.57079632675     		φ = -0.83327285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39432894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.593384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83327285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.743017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57310 KachelY 85370 -0.39432894 -0.83327285 -22.593384 -47.743017
    Oben rechts KachelX + 1 57311 KachelY 85370 -0.39428100 -0.83327285 -22.590637 -47.743017
    Unten links KachelX 57310 KachelY + 1 85371 -0.39432894 -0.83330508 -22.593384 -47.744864
    Unten rechts KachelX + 1 57311 KachelY + 1 85371 -0.39428100 -0.83330508 -22.590637 -47.744864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83327285--0.83330508) × R
    3.22300000000775e-05 × 6371000     		dl = 205.337330000494m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83327285--0.83330508) × R
    3.22300000000775e-05 × 6371000     		dr = 205.337330000494m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39432894--0.39428100) × cos(-0.83327285) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.672457011216446 × 6371000     		do = 205.385680269075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39432894--0.39428100) × cos(-0.83330508) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.672433156278036 × 6371000     		du = 205.378394356858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83327285)-sin(-0.83330508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.672457011216446-0.672433156278036)×R²
    abs(-0.39428100--0.39432894)×2.38549384103948e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38549384103948e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38549384103948e-05×40589641000000     		ar = 42172.599175696m²