Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57308 / 9076
↖ ↑ ↗
← N 78.220028°
E134.802246°		 ← 124.71 m → N 78.220028°
E134.807739°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
N 78.218907°
E134.802246°		 ← 124.72 m →
15 549 m²		 N 78.218907°
E134.807739°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874458312988281 y=0.138496398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874458312988281 × 216)
    floor (0.874458312988281 × 65536)
    floor (57308.5)     		tx = 57308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138496398925781 × 216)
    floor (0.138496398925781 × 65536)
    floor (9076.5)     		ty = 9076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57308 / 9076 ti = "16/57308/9076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57308/9076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57308 ÷ 216
    57308 ÷ 65536     		x = 0.87445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9076 ÷ 216
    9076 ÷ 65536     		y = 0.13848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87445068359375 × 2 - 1) × π
    0.7489013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35274303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13848876953125 × 2 - 1) × π
    0.7230224609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27144205159674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35274303} λ = 2.35274303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27144205159674))-π/2
    2×atan(9.6933690785307)-π/2
    2×1.46799667906574-π/2
    2.93599335813149-1.57079632675     		φ = 1.36519703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35274303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36519703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.220028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57308 KachelY 9076 2.35274303 1.36519703 134.802246 78.220028
    Oben rechts KachelX + 1 57309 KachelY 9076 2.35283891 1.36519703 134.807739 78.220028
    Unten links KachelX 57308 KachelY + 1 9077 2.35274303 1.36517746 134.802246 78.218907
    Unten rechts KachelX + 1 57309 KachelY + 1 9077 2.35283891 1.36517746 134.807739 78.218907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36519703-1.36517746) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dl = 124.680470000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36519703-1.36517746) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dr = 124.680470000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35274303-2.35283891) × cos(1.36519703) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204153871423438 × 6371000     		do = 124.707694506655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35274303-2.35283891) × cos(1.36517746) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204173029216885 × 6371000     		du = 124.719397073136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36519703)-sin(1.36517746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204153871423438-0.204173029216885)×R²
    abs(2.35283891-2.35274303)×1.91577934472165e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.91577934472165e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.91577934472165e-05×40589641000000     		ar = 15549.3435048709m²