Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57308 / 81267
↖ ↑ ↗
← S 39.612036°
W 22.598877°		 ← 235.29 m → S 39.612036°
W 22.596130°		 →
↑
235.22 m
↓
↑
235.22 m
↓
S 39.614152°
W 22.598877°		 ← 235.29 m →
55 344 m²		 S 39.614152°
W 22.596130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437229156494141 y=0.620021820068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437229156494141 × 217)
    floor (0.437229156494141 × 131072)
    floor (57308.5)     		tx = 57308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620021820068359 × 217)
    floor (0.620021820068359 × 131072)
    floor (81267.5)     		ty = 81267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57308 / 81267 ti = "17/57308/81267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57308/81267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57308 ÷ 217
    57308 ÷ 131072     		x = 0.437225341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81267 ÷ 217
    81267 ÷ 131072     		y = 0.620018005371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437225341796875 × 2 - 1) × π
    -0.12554931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39442481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620018005371094 × 2 - 1) × π
    -0.240036010742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.754095367923103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39442481} λ = -0.39442481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754095367923103))-π/2
    2×atan(0.470435993785865)-π/2
    2×0.439717935856945-π/2
    0.879435871713891-1.57079632675     		φ = -0.69136046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39442481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.598877°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69136046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.612036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57308 KachelY 81267 -0.39442481 -0.69136046 -22.598877 -39.612036
    Oben rechts KachelX + 1 57309 KachelY 81267 -0.39437687 -0.69136046 -22.596130 -39.612036
    Unten links KachelX 57308 KachelY + 1 81268 -0.39442481 -0.69139738 -22.598877 -39.614152
    Unten rechts KachelX + 1 57309 KachelY + 1 81268 -0.39437687 -0.69139738 -22.596130 -39.614152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69136046--0.69139738) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dl = 235.217319999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69136046--0.69139738) × R
    3.69199999999958e-05 × 6371000     		dr = 235.217319999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39442481--0.39437687) × cos(-0.69136046) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.770379318158538 × 6371000     		do = 235.293673329385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39442481--0.39437687) × cos(-0.69139738) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.770355777964203 × 6371000     		du = 235.28648354811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69136046)-sin(-0.69139738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770379318158538-0.770355777964203)×R²
    abs(-0.39437687--0.39442481)×2.35401943349256e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35401943349256e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35401943349256e-05×40589641000000     		ar = 55344.3016791536m²