Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 57307 / 45243
↖ ↑ ↗
← N 48.583875°
W 22.601624°		 ← 202.05 m → N 48.583875°
W 22.598877°		 →
↑
202.02 m
↓
↑
202.02 m
↓
N 48.582059°
W 22.601624°		 ← 202.05 m →
40 819 m²		 N 48.582059°
W 22.598877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437221527099609 y=0.345180511474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437221527099609 × 217)
    floor (0.437221527099609 × 131072)
    floor (57307.5)     		tx = 57307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345180511474609 × 217)
    floor (0.345180511474609 × 131072)
    floor (45243.5)     		ty = 45243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57307 / 45243 ti = "17/57307/45243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57307/45243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57307 ÷ 217
    57307 ÷ 131072     		x = 0.437217712402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45243 ÷ 217
    45243 ÷ 131072     		y = 0.345176696777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437217712402344 × 2 - 1) × π
    -0.125564575195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.39447275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345176696777344 × 2 - 1) × π
    0.309646606445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.9727835039898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39447275} λ = -0.39447275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.9727835039898))-π/2
    2×atan(2.64529741702765)-π/2
    2×1.20937245761552-π/2
    2.41874491523105-1.57079632675     		φ = 0.84794859
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39447275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.601624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84794859 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.583875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57307 KachelY 45243 -0.39447275 0.84794859 -22.601624 48.583875
    Oben rechts KachelX + 1 57308 KachelY 45243 -0.39442481 0.84794859 -22.598877 48.583875
    Unten links KachelX 57307 KachelY + 1 45244 -0.39447275 0.84791688 -22.601624 48.582059
    Unten rechts KachelX + 1 57308 KachelY + 1 45244 -0.39442481 0.84791688 -22.598877 48.582059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84794859-0.84791688) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dl = 202.024410000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84794859-0.84791688) × R
    3.17100000000181e-05 × 6371000     		dr = 202.024410000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39447275--0.39442481) × cos(0.84794859) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661522940242499 × 6371000     		do = 202.046133550409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39447275--0.39442481) × cos(0.84791688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661546720029414 × 6371000     		du = 202.053396509424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84794859)-sin(0.84791688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661522940242499-0.661546720029414)×R²
    abs(-0.39442481--0.39447275)×2.37797869143686e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37797869143686e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37797869143686e-05×40589641000000     		ar = 40818.9845742339m²