Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57306 / 85176
↖ ↑ ↗
← S 47.383474°
W 22.604370°		 ← 206.76 m → S 47.383474°
W 22.601624°		 →
↑
206.80 m
↓
↑
206.80 m
↓
S 47.385334°
W 22.604370°		 ← 206.75 m →
42 757 m²		 S 47.385334°
W 22.601624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437213897705078 y=0.649845123291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437213897705078 × 217)
    floor (0.437213897705078 × 131072)
    floor (57306.5)     		tx = 57306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649845123291016 × 217)
    floor (0.649845123291016 × 131072)
    floor (85176.5)     		ty = 85176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57306 / 85176 ti = "17/57306/85176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57306/85176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57306 ÷ 217
    57306 ÷ 131072     		x = 0.437210083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85176 ÷ 217
    85176 ÷ 131072     		y = 0.64984130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437210083007812 × 2 - 1) × π
    -0.125579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39452068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.2996826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.941480708537903
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39452068} λ = -0.39452068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941480708537903))-π/2
    2×atan(0.390049857401612)-π/2
    2×0.37189934835612-π/2
    0.743798696712239-1.57079632675     		φ = -0.82699763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39452068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.604370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82699763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.383474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57306 KachelY 85176 -0.39452068 -0.82699763 -22.604370 -47.383474
    Oben rechts KachelX + 1 57307 KachelY 85176 -0.39447275 -0.82699763 -22.601624 -47.383474
    Unten links KachelX 57306 KachelY + 1 85177 -0.39452068 -0.82703009 -22.604370 -47.385334
    Unten rechts KachelX + 1 57307 KachelY + 1 85177 -0.39447275 -0.82703009 -22.601624 -47.385334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82699763--0.82703009) × R
    3.24600000000119e-05 × 6371000     		dl = 206.802660000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82699763--0.82703009) × R
    3.24600000000119e-05 × 6371000     		dr = 206.802660000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39452068--0.39447275) × cos(-0.82699763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.677088258014483 × 6371000     		do = 206.757044956593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39452068--0.39447275) × cos(-0.82703009) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.677064370284654 × 6371000     		du = 206.74975055092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82699763)-sin(-0.82703009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677088258014483-0.677064370284654)×R²
    abs(-0.39447275--0.39452068)×2.38877298286422e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38877298286422e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38877298286422e-05×40589641000000     		ar = 42757.152623411m²