Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57306 / 45277
↖ ↑ ↗
← N 48.522062°
W 22.604370°		 ← 202.25 m → N 48.522062°
W 22.601624°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
N 48.520243°
W 22.604370°		 ← 202.26 m →
40 912 m²		 N 48.520243°
W 22.601624°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437213897705078 y=0.345439910888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437213897705078 × 217)
    floor (0.437213897705078 × 131072)
    floor (57306.5)     		tx = 57306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345439910888672 × 217)
    floor (0.345439910888672 × 131072)
    floor (45277.5)     		ty = 45277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57306 / 45277 ti = "17/57306/45277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57306/45277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57306 ÷ 217
    57306 ÷ 131072     		x = 0.437210083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45277 ÷ 217
    45277 ÷ 131072     		y = 0.345436096191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437210083007812 × 2 - 1) × π
    -0.125579833984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39452068
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345436096191406 × 2 - 1) × π
    0.309127807617188 × 3.1415926535     		Φ = 0.971153649402718
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39452068} λ = -0.39452068}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.971153649402718))-π/2
    2×atan(2.64098947850863)-π/2
    2×1.20883303502732-π/2
    2.41766607005464-1.57079632675     		φ = 0.84686974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39452068} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.604370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84686974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.522062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57306 KachelY 45277 -0.39452068 0.84686974 -22.604370 48.522062
    Oben rechts KachelX + 1 57307 KachelY 45277 -0.39447275 0.84686974 -22.601624 48.522062
    Unten links KachelX 57306 KachelY + 1 45278 -0.39452068 0.84683799 -22.604370 48.520243
    Unten rechts KachelX + 1 57307 KachelY + 1 45278 -0.39447275 0.84683799 -22.601624 48.520243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84686974-0.84683799) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84686974-0.84683799) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39452068--0.39447275) × cos(0.84686974) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662331611616523 × 6371000     		do = 202.250925456517m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39452068--0.39447275) × cos(0.84683799) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.662355398725868 × 6371000     		du = 202.258189136514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84686974)-sin(0.84683799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662331611616523-0.662355398725868)×R²
    abs(-0.39447275--0.39452068)×2.37871093444753e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37871093444753e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37871093444753e-05×40589641000000     		ar = 40911.9001625641m²