Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57305 / 9086
↖ ↑ ↗
← N 78.208808°
E134.785766°		 ← 124.82 m → N 78.208808°
E134.791260°		 →
↑
124.81 m
↓
↑
124.81 m
↓
N 78.207686°
E134.785766°		 ← 124.84 m →
15 580 m²		 N 78.207686°
E134.791260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874412536621094 y=0.138648986816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874412536621094 × 216)
    floor (0.874412536621094 × 65536)
    floor (57305.5)     		tx = 57305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138648986816406 × 216)
    floor (0.138648986816406 × 65536)
    floor (9086.5)     		ty = 9086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57305 / 9086 ti = "16/57305/9086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57305/9086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57305 ÷ 216
    57305 ÷ 65536     		x = 0.874404907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9086 ÷ 216
    9086 ÷ 65536     		y = 0.138641357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874404907226562 × 2 - 1) × π
    0.748809814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35245541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138641357421875 × 2 - 1) × π
    0.72271728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27048331360434
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35245541} λ = 2.35245541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27048331360434))-π/2
    2×atan(9.68408013086579)-π/2
    2×1.4678987680908-π/2
    2.9357975361816-1.57079632675     		φ = 1.36500121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35245541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.785766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36500121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.208808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57305 KachelY 9086 2.35245541 1.36500121 134.785766 78.208808
    Oben rechts KachelX + 1 57306 KachelY 9086 2.35255129 1.36500121 134.791260 78.208808
    Unten links KachelX 57305 KachelY + 1 9087 2.35245541 1.36498162 134.785766 78.207686
    Unten rechts KachelX + 1 57306 KachelY + 1 9087 2.35255129 1.36498162 134.791260 78.207686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36500121-1.36498162) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dl = 124.807889999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36500121-1.36498162) × R
    1.95899999999583e-05 × 6371000     		dr = 124.807889999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35245541-2.35255129) × cos(1.36500121) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204345563306105 × 6371000     		do = 124.824789776886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35245541-2.35255129) × cos(1.36498162) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204364739894686 × 6371000     		du = 124.836503824402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36500121)-sin(1.36498162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204345563306105-0.204364739894686)×R²
    abs(2.35255129-2.35245541)×1.91765885814155e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.91765885814155e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.91765885814155e-05×40589641000000     		ar = 15579.8496351371m²