Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57305 / 8167
↖ ↑ ↗
← N 79.197104°
E134.785766°		 ← 114.49 m → N 79.197104°
E134.791260°		 →
↑
114.49 m
↓
↑
114.49 m
↓
N 79.196075°
E134.785766°		 ← 114.50 m →
13 109 m²		 N 79.196075°
E134.791260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874412536621094 y=0.124626159667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874412536621094 × 216)
    floor (0.874412536621094 × 65536)
    floor (57305.5)     		tx = 57305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124626159667969 × 216)
    floor (0.124626159667969 × 65536)
    floor (8167.5)     		ty = 8167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57305 / 8167 ti = "16/57305/8167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57305/8167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57305 ÷ 216
    57305 ÷ 65536     		x = 0.874404907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8167 ÷ 216
    8167 ÷ 65536     		y = 0.124618530273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874404907226562 × 2 - 1) × π
    0.748809814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35245541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124618530273438 × 2 - 1) × π
    0.750762939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.358591335106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35245541} λ = 2.35245541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.358591335106))-π/2
    2×atan(10.5760428540036)-π/2
    2×1.4765232808205-π/2
    2.953046561641-1.57079632675     		φ = 1.38225023
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35245541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.785766°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38225023 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.197104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57305 KachelY 8167 2.35245541 1.38225023 134.785766 79.197104
    Oben rechts KachelX + 1 57306 KachelY 8167 2.35255129 1.38225023 134.791260 79.197104
    Unten links KachelX 57305 KachelY + 1 8168 2.35245541 1.38223226 134.785766 79.196075
    Unten rechts KachelX + 1 57306 KachelY + 1 8168 2.35255129 1.38223226 134.791260 79.196075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38225023-1.38223226) × R
    1.79699999998117e-05 × 6371000     		dl = 114.486869998801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38225023-1.38223226) × R
    1.79699999998117e-05 × 6371000     		dr = 114.486869998801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35245541-2.35255129) × cos(1.38225023) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187430956766448 × 6371000     		do = 114.492477338525m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35245541-2.35255129) × cos(1.38223226) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187448608267885 × 6371000     		du = 114.503259784302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38225023)-sin(1.38223226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187430956766448-0.187448608267885)×R²
    abs(2.35255129-2.35245541)×1.76515014369827e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.76515014369827e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.76515014369827e-05×40589641000000     		ar = 13108.5025936687m²