Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57303 / 9075
↖ ↑ ↗
← N 78.221149°
E134.774780°		 ← 124.70 m → N 78.221149°
E134.780274°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
N 78.220028°
E134.774780°		 ← 124.71 m →
15 548 m²		 N 78.220028°
E134.780274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57303 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874382019042969 y=0.138481140136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874382019042969 × 216)
    floor (0.874382019042969 × 65536)
    floor (57303.5)     		tx = 57303
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138481140136719 × 216)
    floor (0.138481140136719 × 65536)
    floor (9075.5)     		ty = 9075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57303 / 9075 ti = "16/57303/9075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57303/9075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57303 ÷ 216
    57303 ÷ 65536     		x = 0.874374389648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9075 ÷ 216
    9075 ÷ 65536     		y = 0.138473510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874374389648438 × 2 - 1) × π
    0.748748779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35226366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138473510742188 × 2 - 1) × π
    0.723052978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27153792539598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35226366} λ = 2.35226366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27153792539598))-π/2
    2×atan(9.69429846320281)-π/2
    2×1.46800646511008-π/2
    2.93601293022017-1.57079632675     		φ = 1.36521660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35226366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.774780°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36521660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.221149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57303 KachelY 9075 2.35226366 1.36521660 134.774780 78.221149
    Oben rechts KachelX + 1 57304 KachelY 9075 2.35235954 1.36521660 134.780274 78.221149
    Unten links KachelX 57303 KachelY + 1 9076 2.35226366 1.36519703 134.774780 78.220028
    Unten rechts KachelX + 1 57304 KachelY + 1 9076 2.35235954 1.36519703 134.780274 78.220028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36521660-1.36519703) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dl = 124.680469999094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36521660-1.36519703) × R
    1.95699999998578e-05 × 6371000     		dr = 124.680469999094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35226366-2.35235954) × cos(1.36521660) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204134713551803 × 6371000     		do = 124.695991892413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35226366-2.35235954) × cos(1.36519703) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.204153871423438 × 6371000     		du = 124.707694506655m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36521660)-sin(1.36519703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204134713551803-0.204153871423438)×R²
    abs(2.35235954-2.35226366)×1.91578716348118e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.91578716348118e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.91578716348118e-05×40589641000000     		ar = 15547.8844204827m²