Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57302 / 9079
↖ ↑ ↗
← N 78.216663°
E134.769287°		 ← 124.73 m → N 78.216663°
E134.774780°		 →
↑
124.74 m
↓
↑
124.74 m
↓
N 78.215541°
E134.769287°		 ← 124.74 m →
15 560 m²		 N 78.215541°
E134.774780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9079 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874366760253906 y=0.138542175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874366760253906 × 216)
    floor (0.874366760253906 × 65536)
    floor (57302.5)     		tx = 57302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138542175292969 × 216)
    floor (0.138542175292969 × 65536)
    floor (9079.5)     		ty = 9079
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57302 / 9079 ti = "16/57302/9079"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57302/9079.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57302 ÷ 216
    57302 ÷ 65536     		x = 0.874359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9079 ÷ 216
    9079 ÷ 65536     		y = 0.138534545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874359130859375 × 2 - 1) × π
    0.74871826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35216779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138534545898438 × 2 - 1) × π
    0.722930908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27115443019902
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35216779} λ = 2.35216779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27115443019902))-π/2
    2×atan(9.69058145907644)-π/2
    2×1.46796731542135-π/2
    2.9359346308427-1.57079632675     		φ = 1.36513830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35216779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.769287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36513830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.216663°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57302 KachelY 9079 2.35216779 1.36513830 134.769287 78.216663
    Oben rechts KachelX + 1 57303 KachelY 9079 2.35226366 1.36513830 134.774780 78.216663
    Unten links KachelX 57302 KachelY + 1 9080 2.35216779 1.36511872 134.769287 78.215541
    Unten rechts KachelX + 1 57303 KachelY + 1 9080 2.35226366 1.36511872 134.774780 78.215541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36513830-1.36511872) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dl = 124.744180000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36513830-1.36511872) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dr = 124.744180000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35216779-2.35226366) × cos(1.36513830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204211364147723 × 6371000     		do = 124.729803716443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35216779-2.35226366) × cos(1.36511872) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.204230531495711 × 6371000     		du = 124.741510898177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36513830)-sin(1.36511872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204211364147723-0.204230531495711)×R²
    abs(2.35226366-2.35216779)×1.91673479878474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.91673479878474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.91673479878474e-05×40589641000000     		ar = 15560.0472882285m²