Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57302 / 84969
↖ ↑ ↗
← S 46.997115°
W 22.615356°		 ← 208.31 m → S 46.997115°
W 22.612610°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
S 46.998988°
W 22.615356°		 ← 208.30 m →
43 384 m²		 S 46.998988°
W 22.612610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437183380126953 y=0.648265838623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437183380126953 × 217)
    floor (0.437183380126953 × 131072)
    floor (57302.5)     		tx = 57302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648265838623047 × 217)
    floor (0.648265838623047 × 131072)
    floor (84969.5)     		ty = 84969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57302 / 84969 ti = "17/57302/84969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57302/84969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57302 ÷ 217
    57302 ÷ 131072     		x = 0.437179565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84969 ÷ 217
    84969 ÷ 131072     		y = 0.648262023925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437179565429688 × 2 - 1) × π
    -0.125640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39471243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648262023925781 × 2 - 1) × π
    -0.296524047851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.931557770316551
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39471243} λ = -0.39471243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931557770316551))-π/2
    2×atan(0.393939564786373)-π/2
    2×0.375270970751307-π/2
    0.750541941502614-1.57079632675     		φ = -0.82025439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39471243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.615356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82025439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.997115°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57302 KachelY 84969 -0.39471243 -0.82025439 -22.615356 -46.997115
    Oben rechts KachelX + 1 57303 KachelY 84969 -0.39466449 -0.82025439 -22.612610 -46.997115
    Unten links KachelX 57302 KachelY + 1 84970 -0.39471243 -0.82028708 -22.615356 -46.998988
    Unten rechts KachelX + 1 57303 KachelY + 1 84970 -0.39466449 -0.82028708 -22.612610 -46.998988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82025439--0.82028708) × R
    3.26899999999464e-05 × 6371000     		dl = 208.267989999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82025439--0.82028708) × R
    3.26899999999464e-05 × 6371000     		dr = 208.267989999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39471243--0.39466449) × cos(-0.82025439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682035189027271 × 6371000     		do = 208.311102314799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39471243--0.39466449) × cos(-0.82028708) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.682011281833094 × 6371000     		du = 208.303800442326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82025439)-sin(-0.82028708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.682035189027271-0.682011281833094)×R²
    abs(-0.39466449--0.39471243)×2.39071941775526e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39071941775526e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39071941775526e-05×40589641000000     		ar = 43383.7742043111m²