Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57302 / 42453
↖ ↑ ↗
← N 53.401345°
W 22.615356°		 ← 182.10 m → N 53.401345°
W 22.612610°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
N 53.399707°
W 22.615356°		 ← 182.10 m →
33 169 m²		 N 53.399707°
W 22.612610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42453 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437183380126953 y=0.323894500732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437183380126953 × 217)
    floor (0.437183380126953 × 131072)
    floor (57302.5)     		tx = 57302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323894500732422 × 217)
    floor (0.323894500732422 × 131072)
    floor (42453.5)     		ty = 42453
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57302 / 42453 ti = "17/57302/42453"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57302/42453.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57302 ÷ 217
    57302 ÷ 131072     		x = 0.437179565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42453 ÷ 217
    42453 ÷ 131072     		y = 0.323890686035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437179565429688 × 2 - 1) × π
    -0.125640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39471243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323890686035156 × 2 - 1) × π
    0.352218627929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.10652745392976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39471243} λ = -0.39471243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10652745392976))-π/2
    2×atan(3.02383971897994)-π/2
    2×1.25141281098348-π/2
    2.50282562196696-1.57079632675     		φ = 0.93202930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39471243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.615356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93202930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.401345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57302 KachelY 42453 -0.39471243 0.93202930 -22.615356 53.401345
    Oben rechts KachelX + 1 57303 KachelY 42453 -0.39466449 0.93202930 -22.612610 53.401345
    Unten links KachelX 57302 KachelY + 1 42454 -0.39471243 0.93200071 -22.615356 53.399707
    Unten rechts KachelX + 1 57303 KachelY + 1 42454 -0.39466449 0.93200071 -22.612610 53.399707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93202930-0.93200071) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93202930-0.93200071) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39471243--0.39466449) × cos(0.93202930) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596206025100525 × 6371000     		do = 182.096666408878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39471243--0.39466449) × cos(0.93200071) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.596228977808697 × 6371000     		du = 182.103676756756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93202930)-sin(0.93200071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596206025100525-0.596228977808697)×R²
    abs(-0.39466449--0.39471243)×2.29527081724301e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29527081724301e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29527081724301e-05×40589641000000     		ar = 33168.9799244485m²