Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57302 / 30014
↖ ↑ ↗
← N 69.351276°
W 22.615356°		 ← 107.70 m → N 69.351276°
W 22.612610°		 →
↑
107.67 m
↓
↑
107.67 m
↓
N 69.350307°
W 22.615356°		 ← 107.71 m →
11 597 m²		 N 69.350307°
W 22.612610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57302 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437183380126953 y=0.228992462158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437183380126953 × 217)
    floor (0.437183380126953 × 131072)
    floor (57302.5)     		tx = 57302
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228992462158203 × 217)
    floor (0.228992462158203 × 131072)
    floor (30014.5)     		ty = 30014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57302 / 30014 ti = "17/57302/30014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57302/30014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57302 ÷ 217
    57302 ÷ 131072     		x = 0.437179565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30014 ÷ 217
    30014 ÷ 131072     		y = 0.228988647460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437179565429688 × 2 - 1) × π
    -0.125640869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39471243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228988647460938 × 2 - 1) × π
    0.542022705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.70281454830363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39471243} λ = -0.39471243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70281454830363))-π/2
    2×atan(5.48937578286392)-π/2
    2×1.39060221517002-π/2
    2.78120443034003-1.57079632675     		φ = 1.21040810
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39471243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.615356°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21040810 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.351276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57302 KachelY 30014 -0.39471243 1.21040810 -22.615356 69.351276
    Oben rechts KachelX + 1 57303 KachelY 30014 -0.39466449 1.21040810 -22.612610 69.351276
    Unten links KachelX 57302 KachelY + 1 30015 -0.39471243 1.21039120 -22.615356 69.350307
    Unten rechts KachelX + 1 57303 KachelY + 1 30015 -0.39466449 1.21039120 -22.612610 69.350307
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21040810-1.21039120) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dl = 107.66990000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21040810-1.21039120) × R
    1.69000000000974e-05 × 6371000     		dr = 107.66990000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39471243--0.39466449) × cos(1.21040810) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.35263754694278 × 6371000     		do = 107.704583726837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39471243--0.39466449) × cos(1.21039120) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352653361236266 × 6371000     		du = 107.709413819128m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21040810)-sin(1.21039120))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.35263754694278-0.352653361236266)×R²
    abs(-0.39466449--0.39471243)×1.58142934864047e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58142934864047e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58142934864047e-05×40589641000000     		ar = 11596.8017873289m²