Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 573 / 599
↖ ↑ ↗
← S 29.228890°
E 21.445312°		 ← 34.115 km → S 29.228890°
E 21.796875°		 →
↑
34.063 km
↓
↑
34.063 km
↓
S 29.535229°
E 21.445312°		 ← 34.012 km →
1 160.32 km²		 S 29.535229°
E 21.796875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.56005859375 y=0.58544921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.56005859375 × 210)
    floor (0.56005859375 × 1024)
    floor (573.5)     		tx = 573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58544921875 × 210)
    floor (0.58544921875 × 1024)
    floor (599.5)     		ty = 599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 573 / 599 ti = "10/573/599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/573/599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 573 ÷ 210
    573 ÷ 1024     		x = 0.5595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 599 ÷ 210
    599 ÷ 1024     		y = 0.5849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5595703125 × 2 - 1) × π
    0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5849609375 × 2 - 1) × π
    -0.169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.533825314168945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37429131} λ = 0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533825314168945))-π/2
    2×atan(0.586357671798541)-π/2
    2×0.530327979538989-π/2
    1.06065595907798-1.57079632675     		φ = -0.51014037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51014037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.228890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 573 KachelY 599 0.37429131 -0.51014037 21.445312 -29.228890
    Oben rechts KachelX + 1 574 KachelY 599 0.38042724 -0.51014037 21.796875 -29.228890
    Unten links KachelX 573 KachelY + 1 600 0.37429131 -0.51548700 21.445312 -29.535229
    Unten rechts KachelX + 1 574 KachelY + 1 600 0.38042724 -0.51548700 21.796875 -29.535229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51014037--0.51548700) × R
    0.00534663000000002 × 6371000     		dl = 34063.3797300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51014037--0.51548700) × R
    0.00534663000000002 × 6371000     		dr = 34063.3797300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37429131-0.38042724) × cos(-0.51014037) × R
    0.00613593000000001 × 0.872675973607667 × 6371000     		do = 34114.657913211m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37429131-0.38042724) × cos(-0.51548700) × R
    0.00613593000000001 × 0.870052754632841 × 6371000     		du = 34012.1110107362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51014037)-sin(-0.51548700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872675973607667-0.870052754632841)×R²
    abs(0.38042724-0.37429131)×0.00262321897482631×R²
    0.00613593000000001×0.00262321897482631×6371000²
    0.00613593000000001×0.00262321897482631×40589641000000     		ar = 1160316763.93017m²