Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57299 / 45227
↖ ↑ ↗
← N 48.612938°
W 22.623596°		 ← 201.89 m → N 48.612938°
W 22.620850°		 →
↑
201.90 m
↓
↑
201.90 m
↓
N 48.611122°
W 22.623596°		 ← 201.90 m →
40 761 m²		 N 48.611122°
W 22.620850°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57299 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437160491943359 y=0.345058441162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437160491943359 × 217)
    floor (0.437160491943359 × 131072)
    floor (57299.5)     		tx = 57299
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345058441162109 × 217)
    floor (0.345058441162109 × 131072)
    floor (45227.5)     		ty = 45227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57299 / 45227 ti = "17/57299/45227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57299/45227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57299 ÷ 217
    57299 ÷ 131072     		x = 0.437156677246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45227 ÷ 217
    45227 ÷ 131072     		y = 0.345054626464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437156677246094 × 2 - 1) × π
    -0.125686645507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.39485624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345054626464844 × 2 - 1) × π
    0.309890747070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.97355049438372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39485624} λ = -0.39485624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.97355049438372))-π/2
    2×atan(2.64732711301474)-π/2
    2×1.20962607552973-π/2
    2.41925215105945-1.57079632675     		φ = 0.84845582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39485624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.623596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84845582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.612938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57299 KachelY 45227 -0.39485624 0.84845582 -22.623596 48.612938
    Oben rechts KachelX + 1 57300 KachelY 45227 -0.39480831 0.84845582 -22.620850 48.612938
    Unten links KachelX 57299 KachelY + 1 45228 -0.39485624 0.84842413 -22.623596 48.611122
    Unten rechts KachelX + 1 57300 KachelY + 1 45228 -0.39480831 0.84842413 -22.620850 48.611122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84845582-0.84842413) × R
    3.16899999999176e-05 × 6371000     		dl = 201.896989999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84845582-0.84842413) × R
    3.16899999999176e-05 × 6371000     		dr = 201.896989999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39485624--0.39480831) × cos(0.84845582) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661142470737878 × 6371000     		do = 201.887806983858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39485624--0.39480831) × cos(0.84842413) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661166246157245 × 6371000     		du = 201.89506709418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84845582)-sin(0.84842413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661142470737878-0.661166246157245)×R²
    abs(-0.39480831--0.39485624)×2.37754193668227e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37754193668227e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37754193668227e-05×40589641000000     		ar = 40761.273448228m²