Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57296 / 42480
↖ ↑ ↗
← N 53.357109°
W 22.631836°		 ← 182.25 m → N 53.357109°
W 22.629090°		 →
↑
182.27 m
↓
↑
182.27 m
↓
N 53.355470°
W 22.631836°		 ← 182.25 m →
33 220 m²		 N 53.355470°
W 22.629090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57296 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437137603759766 y=0.324100494384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437137603759766 × 217)
    floor (0.437137603759766 × 131072)
    floor (57296.5)     		tx = 57296
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324100494384766 × 217)
    floor (0.324100494384766 × 131072)
    floor (42480.5)     		ty = 42480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57296 / 42480 ti = "17/57296/42480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57296/42480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57296 ÷ 217
    57296 ÷ 131072     		x = 0.4371337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42480 ÷ 217
    42480 ÷ 131072     		y = 0.3240966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.125732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39500005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3240966796875 × 2 - 1) × π
    0.351806640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10523315764001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39500005} λ = -0.39500005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10523315764001))-π/2
    2×atan(3.01992850613104)-π/2
    2×1.25102677686655-π/2
    2.5020535537331-1.57079632675     		φ = 0.93125723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39500005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.631836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93125723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.357109°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57296 KachelY 42480 -0.39500005 0.93125723 -22.631836 53.357109
    Oben rechts KachelX + 1 57297 KachelY 42480 -0.39495212 0.93125723 -22.629090 53.357109
    Unten links KachelX 57296 KachelY + 1 42481 -0.39500005 0.93122862 -22.631836 53.355470
    Unten rechts KachelX + 1 57297 KachelY + 1 42481 -0.39495212 0.93122862 -22.629090 53.355470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93125723-0.93122862) × R
    2.86100000000955e-05 × 6371000     		dl = 182.274310000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93125723-0.93122862) × R
    2.86100000000955e-05 × 6371000     		dr = 182.274310000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39500005--0.39495212) × cos(0.93125723) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.596825689438233 × 6371000     		do = 182.247904082909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39500005--0.39495212) × cos(0.93122862) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.596848645026047 × 6371000     		du = 182.254913847803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93125723)-sin(0.93122862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596825689438233-0.596848645026047)×R²
    abs(-0.39495212--0.39500005)×2.29555878140664e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29555878140664e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29555878140664e-05×40589641000000     		ar = 33219.7498181336m²