Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 57292 / 8177
↖ ↑ ↗
← N 79.186804°
E134.714355°		 ← 114.60 m → N 79.186804°
E134.719849°		 →
↑
114.55 m
↓
↑
114.55 m
↓
N 79.185774°
E134.714355°		 ← 114.61 m →
13 128 m²		 N 79.185774°
E134.719849°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874214172363281 y=0.124778747558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874214172363281 × 216)
    floor (0.874214172363281 × 65536)
    floor (57292.5)     		tx = 57292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124778747558594 × 216)
    floor (0.124778747558594 × 65536)
    floor (8177.5)     		ty = 8177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 57292 / 8177 ti = "16/57292/8177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/57292/8177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57292 ÷ 216
    57292 ÷ 65536     		x = 0.87420654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8177 ÷ 216
    8177 ÷ 65536     		y = 0.124771118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87420654296875 × 2 - 1) × π
    0.7484130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35120905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124771118164062 × 2 - 1) × π
    0.750457763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3576325971136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35120905} λ = 2.35120905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3576325971136))-π/2
    2×atan(10.5659080589931)-π/2
    2×1.47643338991306-π/2
    2.95286677982612-1.57079632675     		φ = 1.38207045
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35120905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.714355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38207045 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.186804°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57292 KachelY 8177 2.35120905 1.38207045 134.714355 79.186804
    Oben rechts KachelX + 1 57293 KachelY 8177 2.35130493 1.38207045 134.719849 79.186804
    Unten links KachelX 57292 KachelY + 1 8178 2.35120905 1.38205247 134.714355 79.185774
    Unten rechts KachelX + 1 57293 KachelY + 1 8178 2.35130493 1.38205247 134.719849 79.185774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38207045-1.38205247) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dl = 114.550579999828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38207045-1.38205247) × R
    1.7979999999973e-05 × 6371000     		dr = 114.550579999828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35120905-2.35130493) × cos(1.38207045) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.187607547635763 × 6371000     		do = 114.600348132401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35120905-2.35130493) × cos(1.38205247) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.18762520835377 × 6371000     		du = 114.611136208133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38207045)-sin(1.38205247))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187607547635763-0.18762520835377)×R²
    abs(2.35130493-2.35120905)×1.76607180071287e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.76607180071287e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.76607180071287e-05×40589641000000     		ar = 13128.1542373974m²