Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57291 / 45223
↖ ↑ ↗
← N 48.620201°
W 22.645569°		 ← 201.90 m → N 48.620201°
W 22.642822°		 →
↑
201.90 m
↓
↑
201.90 m
↓
N 48.618385°
W 22.645569°		 ← 201.91 m →
40 764 m²		 N 48.618385°
W 22.642822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437099456787109 y=0.345027923583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437099456787109 × 217)
    floor (0.437099456787109 × 131072)
    floor (57291.5)     		tx = 57291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345027923583984 × 217)
    floor (0.345027923583984 × 131072)
    floor (45223.5)     		ty = 45223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57291 / 45223 ti = "17/57291/45223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57291/45223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57291 ÷ 217
    57291 ÷ 131072     		x = 0.437095642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45223 ÷ 217
    45223 ÷ 131072     		y = 0.345024108886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437095642089844 × 2 - 1) × π
    -0.125808715820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.39523974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345024108886719 × 2 - 1) × π
    0.309951782226562 × 3.1415926535     		Φ = 0.973742241982201
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39523974} λ = -0.39523974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.973742241982201))-π/2
    2×atan(2.64783478030148)-π/2
    2×1.20968945721058-π/2
    2.41937891442117-1.57079632675     		φ = 0.84858259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39523974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.645569°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84858259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.620201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57291 KachelY 45223 -0.39523974 0.84858259 -22.645569 48.620201
    Oben rechts KachelX + 1 57292 KachelY 45223 -0.39519180 0.84858259 -22.642822 48.620201
    Unten links KachelX 57291 KachelY + 1 45224 -0.39523974 0.84855090 -22.645569 48.618385
    Unten rechts KachelX + 1 57292 KachelY + 1 45224 -0.39519180 0.84855090 -22.642822 48.618385
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84858259-0.84855090) × R
    3.16900000000286e-05 × 6371000     		dl = 201.896990000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84858259-0.84855090) × R
    3.16900000000286e-05 × 6371000     		dr = 201.896990000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39523974--0.39519180) × cos(0.84858259) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661047354917644 × 6371000     		do = 201.900877550865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39523974--0.39519180) × cos(0.84855090) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661071132992903 × 6371000     		du = 201.908139987097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84858259)-sin(0.84855090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661047354917644-0.661071132992903)×R²
    abs(-0.39519180--0.39523974)×2.37780752585515e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37780752585515e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37780752585515e-05×40589641000000     		ar = 40763.9125914177m²