Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57289 / 45217
↖ ↑ ↗
← N 48.631093°
W 22.651062°		 ← 201.86 m → N 48.631093°
W 22.648315°		 →
↑
201.83 m
↓
↑
201.83 m
↓
N 48.629278°
W 22.651062°		 ← 201.86 m →
40 742 m²		 N 48.629278°
W 22.648315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437084197998047 y=0.344982147216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437084197998047 × 217)
    floor (0.437084197998047 × 131072)
    floor (57289.5)     		tx = 57289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.344982147216797 × 217)
    floor (0.344982147216797 × 131072)
    floor (45217.5)     		ty = 45217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57289 / 45217 ti = "17/57289/45217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57289/45217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57289 ÷ 217
    57289 ÷ 131072     		x = 0.437080383300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45217 ÷ 217
    45217 ÷ 131072     		y = 0.344978332519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437080383300781 × 2 - 1) × π
    -0.125839233398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.39533561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.344978332519531 × 2 - 1) × π
    0.310043334960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.974029863379921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39533561} λ = -0.39533561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.974029863379921))-π/2
    2×atan(2.64859646377491)-π/2
    2×1.20978451263479-π/2
    2.41956902526959-1.57079632675     		φ = 0.84877270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39533561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.651062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84877270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.631093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57289 KachelY 45217 -0.39533561 0.84877270 -22.651062 48.631093
    Oben rechts KachelX + 1 57290 KachelY 45217 -0.39528767 0.84877270 -22.648315 48.631093
    Unten links KachelX 57289 KachelY + 1 45218 -0.39533561 0.84874102 -22.651062 48.629278
    Unten rechts KachelX + 1 57290 KachelY + 1 45218 -0.39528767 0.84874102 -22.648315 48.629278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84877270-0.84874102) × R
    3.16800000000894e-05 × 6371000     		dl = 201.83328000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84877270-0.84874102) × R
    3.16800000000894e-05 × 6371000     		dr = 201.83328000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39533561--0.39528767) × cos(0.84877270) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660904695039947 × 6371000     		do = 201.857305552151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39533561--0.39528767) × cos(0.84874102) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.660928469592895 × 6371000     		du = 201.864566912579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84877270)-sin(0.84874102))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.660904695039947-0.660928469592895)×R²
    abs(-0.39528767--0.39533561)×2.37745529479971e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37745529479971e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37745529479971e-05×40589641000000     		ar = 40742.2548671691m²