Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57286 / 85171
↖ ↑ ↗
← S 47.374175°
W 22.659302°		 ← 206.84 m → S 47.374175°
W 22.656555°		 →
↑
206.80 m
↓
↑
206.80 m
↓
S 47.376035°
W 22.659302°		 ← 206.83 m →
42 774 m²		 S 47.376035°
W 22.656555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85171 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437061309814453 y=0.649806976318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437061309814453 × 217)
    floor (0.437061309814453 × 131072)
    floor (57286.5)     		tx = 57286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649806976318359 × 217)
    floor (0.649806976318359 × 131072)
    floor (85171.5)     		ty = 85171
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57286 / 85171 ti = "17/57286/85171"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57286/85171.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57286 ÷ 217
    57286 ÷ 131072     		x = 0.437057495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85171 ÷ 217
    85171 ÷ 131072     		y = 0.649803161621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437057495117188 × 2 - 1) × π
    -0.125885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39547942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649803161621094 × 2 - 1) × π
    -0.299606323242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.941241024039803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39547942} λ = -0.39547942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.941241024039803))-π/2
    2×atan(0.390143357510733)-π/2
    2×0.371980499292065-π/2
    0.743960998584131-1.57079632675     		φ = -0.82683533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39547942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.659302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82683533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.374175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57286 KachelY 85171 -0.39547942 -0.82683533 -22.659302 -47.374175
    Oben rechts KachelX + 1 57287 KachelY 85171 -0.39543148 -0.82683533 -22.656555 -47.374175
    Unten links KachelX 57286 KachelY + 1 85172 -0.39547942 -0.82686779 -22.659302 -47.376035
    Unten rechts KachelX + 1 57287 KachelY + 1 85172 -0.39543148 -0.82686779 -22.656555 -47.376035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82683533--0.82686779) × R
    3.24600000000119e-05 × 6371000     		dl = 206.802660000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82683533--0.82686779) × R
    3.24600000000119e-05 × 6371000     		dr = 206.802660000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39547942--0.39543148) × cos(-0.82683533) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.677207685961896 × 6371000     		do = 206.836658618704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39547942--0.39543148) × cos(-0.82686779) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.677183801799395 × 6371000     		du = 206.829363780697m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82683533)-sin(-0.82686779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.677207685961896-0.677183801799395)×R²
    abs(-0.39543148--0.39547942)×2.38841625014308e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38841625014308e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38841625014308e-05×40589641000000     		ar = 42773.6168956084m²