Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57286 / 80959
↖ ↑ ↗
← S 38.957273°
W 22.659302°		 ← 237.50 m → S 38.957273°
W 22.656555°		 →
↑
237.51 m
↓
↑
237.51 m
↓
S 38.959409°
W 22.659302°		 ← 237.50 m →
56 409 m²		 S 38.959409°
W 22.656555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437061309814453 y=0.617671966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437061309814453 × 217)
    floor (0.437061309814453 × 131072)
    floor (57286.5)     		tx = 57286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617671966552734 × 217)
    floor (0.617671966552734 × 131072)
    floor (80959.5)     		ty = 80959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57286 / 80959 ti = "17/57286/80959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57286/80959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57286 ÷ 217
    57286 ÷ 131072     		x = 0.437057495117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80959 ÷ 217
    80959 ÷ 131072     		y = 0.617668151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437057495117188 × 2 - 1) × π
    -0.125885009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39547942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617668151855469 × 2 - 1) × π
    -0.235336303710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.739330802840126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39547942} λ = -0.39547942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739330802840126))-π/2
    2×atan(0.477433305653803)-π/2
    2×0.44543182232261-π/2
    0.890863644645221-1.57079632675     		φ = -0.67993268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39547942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.659302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67993268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.957273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57286 KachelY 80959 -0.39547942 -0.67993268 -22.659302 -38.957273
    Oben rechts KachelX + 1 57287 KachelY 80959 -0.39543148 -0.67993268 -22.656555 -38.957273
    Unten links KachelX 57286 KachelY + 1 80960 -0.39547942 -0.67996996 -22.659302 -38.959409
    Unten rechts KachelX + 1 57287 KachelY + 1 80960 -0.39543148 -0.67996996 -22.656555 -38.959409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67993268--0.67996996) × R
    3.72800000000284e-05 × 6371000     		dl = 237.510880000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67993268--0.67996996) × R
    3.72800000000284e-05 × 6371000     		dr = 237.510880000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39547942--0.39543148) × cos(-0.67993268) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.7776150473353 × 6371000     		do = 237.503651267638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39547942--0.39543148) × cos(-0.67996996) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.777591607342525 × 6371000     		du = 237.496492090499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67993268)-sin(-0.67996996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.7776150473353-0.777591607342525)×R²
    abs(-0.39543148--0.39547942)×2.34399927747653e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34399927747653e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34399927747653e-05×40589641000000     		ar = 56408.8510310158m²