Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57285 / 81116
↖ ↑ ↗
← S 39.291797°
W 22.662048°		 ← 236.38 m → S 39.291797°
W 22.659302°		 →
↑
236.36 m
↓
↑
236.36 m
↓
S 39.293923°
W 22.662048°		 ← 236.37 m →
55 871 m²		 S 39.293923°
W 22.659302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437053680419922 y=0.618869781494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437053680419922 × 217)
    floor (0.437053680419922 × 131072)
    floor (57285.5)     		tx = 57285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618869781494141 × 217)
    floor (0.618869781494141 × 131072)
    floor (81116.5)     		ty = 81116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57285 / 81116 ti = "17/57285/81116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57285/81116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57285 ÷ 217
    57285 ÷ 131072     		x = 0.437049865722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81116 ÷ 217
    81116 ÷ 131072     		y = 0.618865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437049865722656 × 2 - 1) × π
    -0.125900268554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39552736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.23773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.746856896080475
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39552736} λ = -0.39552736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.746856896080475))-π/2
    2×atan(0.473853585629626)-π/2
    2×0.442512549686086-π/2
    0.885025099372171-1.57079632675     		φ = -0.68577123
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39552736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.662048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68577123 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.291797°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57285 KachelY 81116 -0.39552736 -0.68577123 -22.662048 -39.291797
    Oben rechts KachelX + 1 57286 KachelY 81116 -0.39547942 -0.68577123 -22.659302 -39.291797
    Unten links KachelX 57285 KachelY + 1 81117 -0.39552736 -0.68580833 -22.662048 -39.293923
    Unten rechts KachelX + 1 57286 KachelY + 1 81117 -0.39547942 -0.68580833 -22.659302 -39.293923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68577123--0.68580833) × R
    3.71000000000121e-05 × 6371000     		dl = 236.364100000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68577123--0.68580833) × R
    3.71000000000121e-05 × 6371000     		dr = 236.364100000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39552736--0.39547942) × cos(-0.68577123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773930880423084 × 6371000     		do = 236.378411861917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39552736--0.39547942) × cos(-0.68580833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773907385570554 × 6371000     		du = 236.371235929197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68577123)-sin(-0.68580833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773930880423084-0.773907385570554)×R²
    abs(-0.39547942--0.39552736)×2.34948525301704e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34948525301704e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34948525301704e-05×40589641000000     		ar = 55870.5225191546m²