Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57285 / 80958
↖ ↑ ↗
← S 38.955138°
W 22.662048°		 ← 237.51 m → S 38.955138°
W 22.659302°		 →
↑
237.45 m
↓
↑
237.45 m
↓
S 38.957273°
W 22.662048°		 ← 237.50 m →
56 395 m²		 S 38.957273°
W 22.659302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80958 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437053680419922 y=0.617664337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437053680419922 × 217)
    floor (0.437053680419922 × 131072)
    floor (57285.5)     		tx = 57285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617664337158203 × 217)
    floor (0.617664337158203 × 131072)
    floor (80958.5)     		ty = 80958
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57285 / 80958 ti = "17/57285/80958"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57285/80958.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57285 ÷ 217
    57285 ÷ 131072     		x = 0.437049865722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80958 ÷ 217
    80958 ÷ 131072     		y = 0.617660522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437049865722656 × 2 - 1) × π
    -0.125900268554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39552736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617660522460938 × 2 - 1) × π
    -0.235321044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.739282865940506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39552736} λ = -0.39552736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739282865940506))-π/2
    2×atan(0.477456192874818)-π/2
    2×0.445450460830687-π/2
    0.890900921661374-1.57079632675     		φ = -0.67989541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39552736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.662048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67989541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.955138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57285 KachelY 80958 -0.39552736 -0.67989541 -22.662048 -38.955138
    Oben rechts KachelX + 1 57286 KachelY 80958 -0.39547942 -0.67989541 -22.659302 -38.955138
    Unten links KachelX 57285 KachelY + 1 80959 -0.39552736 -0.67993268 -22.662048 -38.957273
    Unten rechts KachelX + 1 57286 KachelY + 1 80959 -0.39547942 -0.67993268 -22.659302 -38.957273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67989541--0.67993268) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dl = 237.447169999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67989541--0.67993268) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dr = 237.447169999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39552736--0.39547942) × cos(-0.67989541) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.77763847996023 × 6371000     		do = 237.510808194173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39552736--0.39547942) × cos(-0.67993268) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7776150473353 × 6371000     		du = 237.503651267363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67989541)-sin(-0.67993268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.77763847996023-0.7776150473353)×R²
    abs(-0.39547942--0.39552736)×2.34326249297645e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34326249297645e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34326249297645e-05×40589641000000     		ar = 56395.4195607157m²