Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57285 / 44095
↖ ↑ ↗
← N 50.626815°
W 22.662048°		 ← 193.75 m → N 50.626815°
W 22.659302°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
N 50.625073°
W 22.662048°		 ← 193.76 m →
37 539 m²		 N 50.625073°
W 22.659302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437053680419922 y=0.336421966552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437053680419922 × 217)
    floor (0.437053680419922 × 131072)
    floor (57285.5)     		tx = 57285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336421966552734 × 217)
    floor (0.336421966552734 × 131072)
    floor (44095.5)     		ty = 44095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57285 / 44095 ti = "17/57285/44095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57285/44095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57285 ÷ 217
    57285 ÷ 131072     		x = 0.437049865722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44095 ÷ 217
    44095 ÷ 131072     		y = 0.336418151855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437049865722656 × 2 - 1) × π
    -0.125900268554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39552736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336418151855469 × 2 - 1) × π
    0.327163696289062 × 3.1415926535     		Φ = 1.02781506475362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39552736} λ = -0.39552736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02781506475362))-π/2
    2×atan(2.79495236842551)-π/2
    2×1.22720047301601-π/2
    2.45440094603202-1.57079632675     		φ = 0.88360462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39552736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.662048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88360462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.626815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57285 KachelY 44095 -0.39552736 0.88360462 -22.662048 50.626815
    Oben rechts KachelX + 1 57286 KachelY 44095 -0.39547942 0.88360462 -22.659302 50.626815
    Unten links KachelX 57285 KachelY + 1 44096 -0.39552736 0.88357421 -22.662048 50.625073
    Unten rechts KachelX + 1 57286 KachelY + 1 44096 -0.39547942 0.88357421 -22.659302 50.625073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88360462-0.88357421) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dl = 193.742109999524m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88360462-0.88357421) × R
    3.04099999999252e-05 × 6371000     		dr = 193.742109999524m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39552736--0.39547942) × cos(0.88360462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634368790098459 × 6371000     		do = 193.752557148599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39552736--0.39547942) × cos(0.88357421) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.634392297664295 × 6371000     		du = 193.75973696429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88360462)-sin(0.88357421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634368790098459-0.634392297664295)×R²
    abs(-0.39547942--0.39552736)×2.35075658358008e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35075658358008e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35075658358008e-05×40589641000000     		ar = 37538.7247590884m²