Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57285 / 29892
↖ ↑ ↗
← N 69.469116°
W 22.662048°		 ← 107.12 m → N 69.469116°
W 22.659302°		 →
↑
107.10 m
↓
↑
107.10 m
↓
N 69.468153°
W 22.662048°		 ← 107.12 m →
11 472 m²		 N 69.468153°
W 22.659302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57285 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437053680419922 y=0.228061676025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437053680419922 × 217)
    floor (0.437053680419922 × 131072)
    floor (57285.5)     		tx = 57285
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228061676025391 × 217)
    floor (0.228061676025391 × 131072)
    floor (29892.5)     		ty = 29892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57285 / 29892 ti = "17/57285/29892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57285/29892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57285 ÷ 217
    57285 ÷ 131072     		x = 0.437049865722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29892 ÷ 217
    29892 ÷ 131072     		y = 0.228057861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437049865722656 × 2 - 1) × π
    -0.125900268554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39552736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228057861328125 × 2 - 1) × π
    0.54388427734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70866285005728
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39552736} λ = -0.39552736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70866285005728))-π/2
    2×atan(5.52157336770709)-π/2
    2×1.39163056338519-π/2
    2.78326112677038-1.57079632675     		φ = 1.21246480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39552736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.662048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21246480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.469116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57285 KachelY 29892 -0.39552736 1.21246480 -22.662048 69.469116
    Oben rechts KachelX + 1 57286 KachelY 29892 -0.39547942 1.21246480 -22.659302 69.469116
    Unten links KachelX 57285 KachelY + 1 29893 -0.39552736 1.21244799 -22.662048 69.468153
    Unten rechts KachelX + 1 57286 KachelY + 1 29893 -0.39547942 1.21244799 -22.659302 69.468153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21246480-1.21244799) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dl = 107.096509999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21246480-1.21244799) × R
    1.68099999999782e-05 × 6371000     		dr = 107.096509999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39552736--0.39547942) × cos(1.21246480) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350712224895644 × 6371000     		do = 107.116540815728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39552736--0.39547942) × cos(1.21244799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.350727967130043 × 6371000     		du = 107.121348899319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21246480)-sin(1.21244799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.350712224895644-0.350727967130043)×R²
    abs(-0.39547942--0.39552736)×1.57422343988189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.57422343988189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.57422343988189e-05×40589641000000     		ar = 11472.065149406m²