Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57283 / 80969
↖ ↑ ↗
← S 38.978628°
W 22.667541°		 ← 237.38 m → S 38.978628°
W 22.664795°		 →
↑
237.45 m
↓
↑
237.45 m
↓
S 38.980763°
W 22.667541°		 ← 237.38 m →
56 365 m²		 S 38.980763°
W 22.664795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 80969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437038421630859 y=0.617748260498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437038421630859 × 217)
    floor (0.437038421630859 × 131072)
    floor (57283.5)     		tx = 57283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617748260498047 × 217)
    floor (0.617748260498047 × 131072)
    floor (80969.5)     		ty = 80969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57283 / 80969 ti = "17/57283/80969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57283/80969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57283 ÷ 217
    57283 ÷ 131072     		x = 0.437034606933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 80969 ÷ 217
    80969 ÷ 131072     		y = 0.617744445800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437034606933594 × 2 - 1) × π
    -0.125930786132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.39562323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617744445800781 × 2 - 1) × π
    -0.235488891601562 × 3.1415926535     		Φ = -0.739810171836327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39562323} λ = -0.39562323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.739810171836327))-π/2
    2×atan(0.477204493776361)-π/2
    2×0.445245468139787-π/2
    0.890490936279574-1.57079632675     		φ = -0.68030539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39562323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.667541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68030539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.978628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57283 KachelY 80969 -0.39562323 -0.68030539 -22.667541 -38.978628
    Oben rechts KachelX + 1 57284 KachelY 80969 -0.39557530 -0.68030539 -22.664795 -38.978628
    Unten links KachelX 57283 KachelY + 1 80970 -0.39562323 -0.68034266 -22.667541 -38.980763
    Unten rechts KachelX + 1 57284 KachelY + 1 80970 -0.39557530 -0.68034266 -22.664795 -38.980763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68030539--0.68034266) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dl = 237.447169999861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68030539--0.68034266) × R
    3.72699999999782e-05 × 6371000     		dr = 237.447169999861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39562323--0.39557530) × cos(-0.68030539) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.777380655392906 × 6371000     		do = 237.382535013378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39562323--0.39557530) × cos(-0.68034266) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.777357210887844 × 6371000     		du = 237.37537595172m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68030539)-sin(-0.68034266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.777380655392906-0.777357210887844)×R²
    abs(-0.39557530--0.39562323)×2.34445050617538e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34445050617538e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34445050617538e-05×40589641000000     		ar = 56364.9612035347m²