Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57282 / 45256
↖ ↑ ↗
← N 48.560250°
W 22.670288°		 ← 202.14 m → N 48.560250°
W 22.667541°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
N 48.558432°
W 22.670288°		 ← 202.15 m →
40 851 m²		 N 48.558432°
W 22.667541°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437030792236328 y=0.345279693603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437030792236328 × 217)
    floor (0.437030792236328 × 131072)
    floor (57282.5)     		tx = 57282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345279693603516 × 217)
    floor (0.345279693603516 × 131072)
    floor (45256.5)     		ty = 45256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57282 / 45256 ti = "17/57282/45256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57282/45256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57282 ÷ 217
    57282 ÷ 131072     		x = 0.437026977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45256 ÷ 217
    45256 ÷ 131072     		y = 0.34527587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.437026977539062 × 2 - 1) × π
    -0.125946044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39567117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34527587890625 × 2 - 1) × π
    0.3094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.972160324294739
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39567117} λ = -0.39567117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972160324294739))-π/2
    2×atan(2.64364943493778)-π/2
    2×1.20916628561666-π/2
    2.41833257123332-1.57079632675     		φ = 0.84753624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39567117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.670288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84753624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.560250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57282 KachelY 45256 -0.39567117 0.84753624 -22.670288 48.560250
    Oben rechts KachelX + 1 57283 KachelY 45256 -0.39562323 0.84753624 -22.667541 48.560250
    Unten links KachelX 57282 KachelY + 1 45257 -0.39567117 0.84750452 -22.670288 48.558432
    Unten rechts KachelX + 1 57283 KachelY + 1 45257 -0.39562323 0.84750452 -22.667541 48.558432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84753624-0.84750452) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dl = 202.088120000436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84753624-0.84750452) × R
    3.17200000000684e-05 × 6371000     		dr = 202.088120000436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39567117--0.39562323) × cos(0.84753624) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661832115538112 × 6371000     		do = 202.140563644095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39567117--0.39562323) × cos(0.84750452) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661855894169339 × 6371000     		du = 202.147826250133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84753624)-sin(0.84750452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661832115538112-0.661855894169339)×R²
    abs(-0.39562323--0.39567117)×2.37786312268229e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37786312268229e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37786312268229e-05×40589641000000     		ar = 40850.940329425m²