Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57280 / 30018
↖ ↑ ↗
← N 69.347401°
W 22.675781°		 ← 107.70 m → N 69.347401°
W 22.673035°		 →
↑
107.73 m
↓
↑
107.73 m
↓
N 69.346432°
W 22.675781°		 ← 107.71 m →
11 603 m²		 N 69.346432°
W 22.673035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57280 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437015533447266 y=0.229022979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437015533447266 × 217)
    floor (0.437015533447266 × 131072)
    floor (57280.5)     		tx = 57280
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229022979736328 × 217)
    floor (0.229022979736328 × 131072)
    floor (30018.5)     		ty = 30018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57280 / 30018 ti = "17/57280/30018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57280/30018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57280 ÷ 217
    57280 ÷ 131072     		x = 0.43701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30018 ÷ 217
    30018 ÷ 131072     		y = 0.229019165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43701171875 × 2 - 1) × π
    -0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229019165039062 × 2 - 1) × π
    0.541961669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70262280070515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39576704} λ = -0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70262280070515))-π/2
    2×atan(5.48832330914828)-π/2
    2×1.39056840343565-π/2
    2.78113680687131-1.57079632675     		φ = 1.21034048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21034048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.347401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57280 KachelY 30018 -0.39576704 1.21034048 -22.675781 69.347401
    Oben rechts KachelX + 1 57281 KachelY 30018 -0.39571911 1.21034048 -22.673035 69.347401
    Unten links KachelX 57280 KachelY + 1 30019 -0.39576704 1.21032357 -22.675781 69.346432
    Unten rechts KachelX + 1 57281 KachelY + 1 30019 -0.39571911 1.21032357 -22.673035 69.346432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21034048-1.21032357) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dl = 107.733610000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21034048-1.21032357) × R
    1.69100000000366e-05 × 6371000     		dr = 107.733610000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39576704--0.39571911) × cos(1.21034048) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352700822227102 × 6371000     		do = 107.701439058003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39576704--0.39571911) × cos(1.21032357) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352716645474858 × 6371000     		du = 107.706270877059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21034048)-sin(1.21032357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352700822227102-0.352716645474858)×R²
    abs(-0.39571911--0.39576704)×1.58232477565634e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58232477565634e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58232477565634e-05×40589641000000     		ar = 11603.3251068725m²