Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57278 / 44093
↖ ↑ ↗
← N 50.630300°
W 22.681275°		 ← 193.74 m → N 50.630300°
W 22.678528°		 →
↑
193.74 m
↓
↑
193.74 m
↓
N 50.628558°
W 22.681275°		 ← 193.75 m →
37 536 m²		 N 50.628558°
W 22.678528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.437000274658203 y=0.336406707763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.437000274658203 × 217)
    floor (0.437000274658203 × 131072)
    floor (57278.5)     		tx = 57278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.336406707763672 × 217)
    floor (0.336406707763672 × 131072)
    floor (44093.5)     		ty = 44093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57278 / 44093 ti = "17/57278/44093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57278/44093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57278 ÷ 217
    57278 ÷ 131072     		x = 0.436996459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44093 ÷ 217
    44093 ÷ 131072     		y = 0.336402893066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436996459960938 × 2 - 1) × π
    -0.126007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39586292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.336402893066406 × 2 - 1) × π
    0.327194213867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.02791093855286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39586292} λ = -0.39586292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02791093855286))-π/2
    2×atan(2.79522034397347)-π/2
    2×1.22723088156218-π/2
    2.45446176312436-1.57079632675     		φ = 0.88366544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39586292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.681275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88366544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.630300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57278 KachelY 44093 -0.39586292 0.88366544 -22.681275 50.630300
    Oben rechts KachelX + 1 57279 KachelY 44093 -0.39581498 0.88366544 -22.678528 50.630300
    Unten links KachelX 57278 KachelY + 1 44094 -0.39586292 0.88363503 -22.681275 50.628558
    Unten rechts KachelX + 1 57279 KachelY + 1 44094 -0.39581498 0.88363503 -22.678528 50.628558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88366544-0.88363503) × R
    3.04100000000362e-05 × 6371000     		dl = 193.742110000231m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88366544-0.88363503) × R
    3.04100000000362e-05 × 6371000     		dr = 193.742110000231m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39586292--0.39581498) × cos(0.88366544) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634321773206877 × 6371000     		do = 193.73819697992m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39586292--0.39581498) × cos(0.88363503) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.634345281945979 × 6371000     		du = 193.745377153956m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88366544)-sin(0.88363503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.634321773206877-0.634345281945979)×R²
    abs(-0.39581498--0.39586292)×2.35087391021738e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35087391021738e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35087391021738e-05×40589641000000     		ar = 37535.9426245838m²