Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57276 / 81149
↖ ↑ ↗
← S 39.361909°
W 22.686768°		 ← 236.14 m → S 39.361909°
W 22.684021°		 →
↑
236.11 m
↓
↑
236.11 m
↓
S 39.364032°
W 22.686768°		 ← 236.13 m →
55 754 m²		 S 39.364032°
W 22.684021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436985015869141 y=0.619121551513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436985015869141 × 217)
    floor (0.436985015869141 × 131072)
    floor (57276.5)     		tx = 57276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.619121551513672 × 217)
    floor (0.619121551513672 × 131072)
    floor (81149.5)     		ty = 81149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57276 / 81149 ti = "17/57276/81149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57276/81149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57276 ÷ 217
    57276 ÷ 131072     		x = 0.436981201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81149 ÷ 217
    81149 ÷ 131072     		y = 0.619117736816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436981201171875 × 2 - 1) × π
    -0.12603759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39595879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.619117736816406 × 2 - 1) × π
    -0.238235473632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.748438813767937
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39595879} λ = -0.39595879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.748438813767937))-π/2
    2×atan(0.473104580849402)-π/2
    2×0.441900708879754-π/2
    0.883801417759509-1.57079632675     		φ = -0.68699491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39595879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.686768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68699491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.361909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57276 KachelY 81149 -0.39595879 -0.68699491 -22.686768 -39.361909
    Oben rechts KachelX + 1 57277 KachelY 81149 -0.39591085 -0.68699491 -22.684021 -39.361909
    Unten links KachelX 57276 KachelY + 1 81150 -0.39595879 -0.68703197 -22.686768 -39.364032
    Unten rechts KachelX + 1 57277 KachelY + 1 81150 -0.39591085 -0.68703197 -22.684021 -39.364032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68699491--0.68703197) × R
    3.70600000000332e-05 × 6371000     		dl = 236.109260000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68699491--0.68703197) × R
    3.70600000000332e-05 × 6371000     		dr = 236.109260000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39595879--0.39591085) × cos(-0.68699491) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.773155381247645 × 6371000     		do = 236.141554452663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39595879--0.39591085) × cos(-0.68703197) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.773131876647737 × 6371000     		du = 236.134375542842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68699491)-sin(-0.68703197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773155381247645-0.773131876647737)×R²
    abs(-0.39591085--0.39595879)×2.35045999077421e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35045999077421e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35045999077421e-05×40589641000000     		ar = 55754.3601799356m²