Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57276 / 30006
↖ ↑ ↗
← N 69.359023°
W 22.686768°		 ← 107.67 m → N 69.359023°
W 22.684021°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
N 69.358055°
W 22.686768°		 ← 107.67 m →
11 586 m²		 N 69.358055°
W 22.684021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436985015869141 y=0.228931427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436985015869141 × 217)
    floor (0.436985015869141 × 131072)
    floor (57276.5)     		tx = 57276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228931427001953 × 217)
    floor (0.228931427001953 × 131072)
    floor (30006.5)     		ty = 30006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57276 / 30006 ti = "17/57276/30006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57276/30006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57276 ÷ 217
    57276 ÷ 131072     		x = 0.436981201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30006 ÷ 217
    30006 ÷ 131072     		y = 0.228927612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436981201171875 × 2 - 1) × π
    -0.12603759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39595879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228927612304688 × 2 - 1) × π
    0.542144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7031980435006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39595879} λ = -0.39595879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7031980435006))-π/2
    2×atan(5.49148133581988)-π/2
    2×1.39066982044081-π/2
    2.78133964088163-1.57079632675     		φ = 1.21054331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39595879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.686768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21054331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.359023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57276 KachelY 30006 -0.39595879 1.21054331 -22.686768 69.359023
    Oben rechts KachelX + 1 57277 KachelY 30006 -0.39591085 1.21054331 -22.684021 69.359023
    Unten links KachelX 57276 KachelY + 1 30007 -0.39595879 1.21052642 -22.686768 69.358055
    Unten rechts KachelX + 1 57277 KachelY + 1 30007 -0.39591085 1.21052642 -22.684021 69.358055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21054331-1.21052642) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dl = 107.606189999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21054331-1.21052642) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dr = 107.606189999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39595879--0.39591085) × cos(1.21054331) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352511019611387 × 6371000     		do = 107.665939023016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39595879--0.39591085) × cos(1.21052642) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.352526825352524 × 6371000     		du = 107.670766503199m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21054331)-sin(1.21052642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352511019611387-0.352526825352524)×R²
    abs(-0.39591085--0.39595879)×1.58057411367429e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58057411367429e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58057411367429e-05×40589641000000     		ar = 11585.7812247809m²