Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57274 / 45258
↖ ↑ ↗
← N 48.556614°
W 22.692260°		 ← 202.11 m → N 48.556614°
W 22.689514°		 →
↑
202.15 m
↓
↑
202.15 m
↓
N 48.554796°
W 22.692260°		 ← 202.12 m →
40 858 m²		 N 48.554796°
W 22.689514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436969757080078 y=0.345294952392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436969757080078 × 217)
    floor (0.436969757080078 × 131072)
    floor (57274.5)     		tx = 57274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345294952392578 × 217)
    floor (0.345294952392578 × 131072)
    floor (45258.5)     		ty = 45258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57274 / 45258 ti = "17/57274/45258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57274/45258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57274 ÷ 217
    57274 ÷ 131072     		x = 0.436965942382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45258 ÷ 217
    45258 ÷ 131072     		y = 0.345291137695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436965942382812 × 2 - 1) × π
    -0.126068115234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39605466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345291137695312 × 2 - 1) × π
    0.309417724609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.972064450495499
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39605466} λ = -0.39605466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972064450495499))-π/2
    2×atan(2.64339599037214)-π/2
    2×1.20913455829701-π/2
    2.41826911659403-1.57079632675     		φ = 0.84747279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39605466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.692260°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84747279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.556614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57274 KachelY 45258 -0.39605466 0.84747279 -22.692260 48.556614
    Oben rechts KachelX + 1 57275 KachelY 45258 -0.39600673 0.84747279 -22.689514 48.556614
    Unten links KachelX 57274 KachelY + 1 45259 -0.39605466 0.84744106 -22.692260 48.554796
    Unten rechts KachelX + 1 57275 KachelY + 1 45259 -0.39600673 0.84744106 -22.689514 48.554796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84747279-0.84744106) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dl = 202.151830000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84747279-0.84744106) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dr = 202.151830000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39605466--0.39600673) × cos(0.84747279) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661879679630735 × 6371000     		do = 202.112922587915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39605466--0.39600673) × cos(0.84744106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.661903464425755 × 6371000     		du = 202.120185561205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84747279)-sin(0.84744106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661879679630735-0.661903464425755)×R²
    abs(-0.39600673--0.39605466)×2.37847950201875e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37847950201875e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37847950201875e-05×40589641000000     		ar = 40858.2312830754m²