Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57272 / 42312
↖ ↑ ↗
← N 53.631611°
W 22.697754°		 ← 181.11 m → N 53.631611°
W 22.695007°		 →
↑
181.13 m
↓
↑
181.13 m
↓
N 53.629982°
W 22.697754°		 ← 181.12 m →
32 805 m²		 N 53.629982°
W 22.695007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42312 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436954498291016 y=0.322818756103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436954498291016 × 217)
    floor (0.436954498291016 × 131072)
    floor (57272.5)     		tx = 57272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322818756103516 × 217)
    floor (0.322818756103516 × 131072)
    floor (42312.5)     		ty = 42312
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57272 / 42312 ti = "17/57272/42312"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57272/42312.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57272 ÷ 217
    57272 ÷ 131072     		x = 0.43695068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42312 ÷ 217
    42312 ÷ 131072     		y = 0.32281494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.43695068359375 × 2 - 1) × π
    -0.1260986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39615054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32281494140625 × 2 - 1) × π
    0.3543701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.11328655677618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39615054} λ = -0.39615054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11328655677618))-π/2
    2×atan(3.04434739128962)-π/2
    2×1.25342225750417-π/2
    2.50684451500834-1.57079632675     		φ = 0.93604819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39615054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.697754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93604819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.631611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57272 KachelY 42312 -0.39615054 0.93604819 -22.697754 53.631611
    Oben rechts KachelX + 1 57273 KachelY 42312 -0.39610260 0.93604819 -22.695007 53.631611
    Unten links KachelX 57272 KachelY + 1 42313 -0.39615054 0.93601976 -22.697754 53.629982
    Unten rechts KachelX + 1 57273 KachelY + 1 42313 -0.39610260 0.93601976 -22.695007 53.629982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93604819-0.93601976) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dl = 181.127529999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93604819-0.93601976) × R
    2.84299999999682e-05 × 6371000     		dr = 181.127529999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39615054--0.39610260) × cos(0.93604819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592974727606015 × 6371000     		do = 181.109744980247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39615054--0.39610260) × cos(0.93601976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592997619801407 × 6371000     		du = 181.116736845965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93604819)-sin(0.93601976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592974727606015-0.592997619801407)×R²
    abs(-0.39610260--0.39615054)×2.28921953916439e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28921953916439e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28921953916439e-05×40589641000000     		ar = 32804.5939789684m²