Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57271 / 45257
↖ ↑ ↗
← N 48.558432°
W 22.700501°		 ← 202.15 m → N 48.558432°
W 22.697754°		 →
↑
202.15 m
↓
↑
202.15 m
↓
N 48.556614°
W 22.700501°		 ← 202.16 m →
40 865 m²		 N 48.556614°
W 22.697754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436946868896484 y=0.345287322998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436946868896484 × 217)
    floor (0.436946868896484 × 131072)
    floor (57271.5)     		tx = 57271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345287322998047 × 217)
    floor (0.345287322998047 × 131072)
    floor (45257.5)     		ty = 45257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57271 / 45257 ti = "17/57271/45257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57271/45257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57271 ÷ 217
    57271 ÷ 131072     		x = 0.436943054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45257 ÷ 217
    45257 ÷ 131072     		y = 0.345283508300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436943054199219 × 2 - 1) × π
    -0.126113891601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.39619848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345283508300781 × 2 - 1) × π
    0.309432983398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.972112387395119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39619848} λ = -0.39619848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972112387395119))-π/2
    2×atan(2.64352270961762)-π/2
    2×1.20915042224187-π/2
    2.41830084448373-1.57079632675     		φ = 0.84750452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39619848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.700501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84750452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.558432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57271 KachelY 45257 -0.39619848 0.84750452 -22.700501 48.558432
    Oben rechts KachelX + 1 57272 KachelY 45257 -0.39615054 0.84750452 -22.697754 48.558432
    Unten links KachelX 57271 KachelY + 1 45258 -0.39619848 0.84747279 -22.700501 48.556614
    Unten rechts KachelX + 1 57272 KachelY + 1 45258 -0.39615054 0.84747279 -22.697754 48.556614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84750452-0.84747279) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dl = 202.151830000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84750452-0.84747279) × R
    3.17300000000076e-05 × 6371000     		dr = 202.151830000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39619848--0.39615054) × cos(0.84750452) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661855894169339 × 6371000     		do = 202.147826250133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39619848--0.39615054) × cos(0.84747279) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.661879679630735 × 6371000     		du = 202.155090942282m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84750452)-sin(0.84747279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661855894169339-0.661879679630735)×R²
    abs(-0.39615054--0.39619848)×2.37854613959199e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37854613959199e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37854613959199e-05×40589641000000     		ar = 40865.2872956472m²