Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57270 / 84898
↖ ↑ ↗
← S 46.863947°
W 22.703247°		 ← 208.79 m → S 46.863947°
W 22.700501°		 →
↑
208.78 m
↓
↑
208.78 m
↓
S 46.865825°
W 22.703247°		 ← 208.78 m →
43 589 m²		 S 46.865825°
W 22.700501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436939239501953 y=0.647724151611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436939239501953 × 217)
    floor (0.436939239501953 × 131072)
    floor (57270.5)     		tx = 57270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647724151611328 × 217)
    floor (0.647724151611328 × 131072)
    floor (84898.5)     		ty = 84898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57270 / 84898 ti = "17/57270/84898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57270/84898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57270 ÷ 217
    57270 ÷ 131072     		x = 0.436935424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84898 ÷ 217
    84898 ÷ 131072     		y = 0.647720336914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436935424804688 × 2 - 1) × π
    -0.126129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39624641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647720336914062 × 2 - 1) × π
    -0.295440673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.928154250443527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39624641} λ = -0.39624641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928154250443527))-π/2
    2×atan(0.395282630202311)-π/2
    2×0.376433075547098-π/2
    0.752866151094197-1.57079632675     		φ = -0.81793018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39624641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.703247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81793018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.863947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57270 KachelY 84898 -0.39624641 -0.81793018 -22.703247 -46.863947
    Oben rechts KachelX + 1 57271 KachelY 84898 -0.39619848 -0.81793018 -22.700501 -46.863947
    Unten links KachelX 57270 KachelY + 1 84899 -0.39624641 -0.81796295 -22.703247 -46.865825
    Unten rechts KachelX + 1 57271 KachelY + 1 84899 -0.39619848 -0.81796295 -22.700501 -46.865825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81793018--0.81796295) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dl = 208.777670000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81793018--0.81796295) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dr = 208.777670000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39624641--0.39619848) × cos(-0.81793018) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.683733085098216 × 6371000     		do = 208.78612284364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39624641--0.39619848) × cos(-0.81796295) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.68370917140725 × 6371000     		du = 208.778820510422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81793018)-sin(-0.81796295))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683733085098216-0.68370917140725)×R²
    abs(-0.39619848--0.39624641)×2.39136909656601e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.39136909656601e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.39136909656601e-05×40589641000000     		ar = 43589.1179773445m²