Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57270 / 81030
↖ ↑ ↗
← S 39.108752°
W 22.703247°		 ← 236.95 m → S 39.108752°
W 22.700501°		 →
↑
236.94 m
↓
↑
236.94 m
↓
S 39.110882°
W 22.703247°		 ← 236.94 m →
56 140 m²		 S 39.110882°
W 22.700501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436939239501953 y=0.618213653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436939239501953 × 217)
    floor (0.436939239501953 × 131072)
    floor (57270.5)     		tx = 57270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618213653564453 × 217)
    floor (0.618213653564453 × 131072)
    floor (81030.5)     		ty = 81030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57270 / 81030 ti = "17/57270/81030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57270/81030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57270 ÷ 217
    57270 ÷ 131072     		x = 0.436935424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81030 ÷ 217
    81030 ÷ 131072     		y = 0.618209838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436935424804688 × 2 - 1) × π
    -0.126129150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.39624641
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618209838867188 × 2 - 1) × π
    -0.236419677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.74273432271315
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39624641} λ = -0.39624641}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.74273432271315))-π/2
    2×atan(0.475811114056585)-π/2
    2×0.444109924623377-π/2
    0.888219849246754-1.57079632675     		φ = -0.68257648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39624641} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.703247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68257648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.108752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57270 KachelY 81030 -0.39624641 -0.68257648 -22.703247 -39.108752
    Oben rechts KachelX + 1 57271 KachelY 81030 -0.39619848 -0.68257648 -22.700501 -39.108752
    Unten links KachelX 57270 KachelY + 1 81031 -0.39624641 -0.68261367 -22.703247 -39.110882
    Unten rechts KachelX + 1 57271 KachelY + 1 81031 -0.39619848 -0.68261367 -22.700501 -39.110882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68257648--0.68261367) × R
    3.71899999999092e-05 × 6371000     		dl = 236.937489999422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68257648--0.68261367) × R
    3.71899999999092e-05 × 6371000     		dr = 236.937489999422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39624641--0.39619848) × cos(-0.68257648) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.775950067033504 × 6371000     		do = 236.945687647858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39624641--0.39619848) × cos(-0.68261367) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.775926607255572 × 6371000     		du = 236.938523922445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68257648)-sin(-0.68261367))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775950067033504-0.775926607255572)×R²
    abs(-0.39619848--0.39624641)×2.34597779318335e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34597779318335e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34597779318335e-05×40589641000000     		ar = 56140.4678264717m²