Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57269 / 84910
↖ ↑ ↗
← S 46.886478°
W 22.705994°		 ← 208.74 m → S 46.886478°
W 22.703247°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
S 46.888355°
W 22.705994°		 ← 208.73 m →
43 567 m²		 S 46.888355°
W 22.703247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436931610107422 y=0.647815704345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436931610107422 × 217)
    floor (0.436931610107422 × 131072)
    floor (57269.5)     		tx = 57269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.647815704345703 × 217)
    floor (0.647815704345703 × 131072)
    floor (84910.5)     		ty = 84910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57269 / 84910 ti = "17/57269/84910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57269/84910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57269 ÷ 217
    57269 ÷ 131072     		x = 0.436927795410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84910 ÷ 217
    84910 ÷ 131072     		y = 0.647811889648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436927795410156 × 2 - 1) × π
    -0.126144409179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.39629435
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.647811889648438 × 2 - 1) × π
    -0.295623779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.928729493238968
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39629435} λ = -0.39629435}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.928729493238968))-π/2
    2×atan(0.395055312104942)-π/2
    2×0.376236460555399-π/2
    0.752472921110797-1.57079632675     		φ = -0.81832341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39629435} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.705994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.81832341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.886478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57269 KachelY 84910 -0.39629435 -0.81832341 -22.705994 -46.886478
    Oben rechts KachelX + 1 57270 KachelY 84910 -0.39624641 -0.81832341 -22.703247 -46.886478
    Unten links KachelX 57269 KachelY + 1 84911 -0.39629435 -0.81835617 -22.705994 -46.888355
    Unten rechts KachelX + 1 57270 KachelY + 1 84911 -0.39624641 -0.81835617 -22.703247 -46.888355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.81832341--0.81835617) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dl = 208.713960000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.81832341--0.81835617) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dr = 208.713960000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39629435--0.39624641) × cos(-0.81832341) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683446079653982 × 6371000     		do = 208.742024628521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39629435--0.39624641) × cos(-0.81835617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.683422164454568 × 6371000     		du = 208.734720311043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.81832341)-sin(-0.81835617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683446079653982-0.683422164454568)×R²
    abs(-0.39624641--0.39629435)×2.39151994138043e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.39151994138043e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.39151994138043e-05×40589641000000     		ar = 43566.6123260354m²