Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57268 / 45244
↖ ↑ ↗
← N 48.582059°
W 22.708740°		 ← 202.05 m → N 48.582059°
W 22.705994°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
N 48.580241°
W 22.708740°		 ← 202.06 m →
40 833 m²		 N 48.580241°
W 22.705994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436923980712891 y=0.345188140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436923980712891 × 217)
    floor (0.436923980712891 × 131072)
    floor (57268.5)     		tx = 57268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345188140869141 × 217)
    floor (0.345188140869141 × 131072)
    floor (45244.5)     		ty = 45244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57268 / 45244 ti = "17/57268/45244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57268/45244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57268 ÷ 217
    57268 ÷ 131072     		x = 0.436920166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45244 ÷ 217
    45244 ÷ 131072     		y = 0.345184326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436920166015625 × 2 - 1) × π
    -0.12615966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39634229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345184326171875 × 2 - 1) × π
    0.30963134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.972735567090179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39634229} λ = -0.39634229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.972735567090179))-π/2
    2×atan(2.64517061271023)-π/2
    2×1.2093566016511-π/2
    2.41871320330221-1.57079632675     		φ = 0.84791688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39634229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.708740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84791688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.582059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57268 KachelY 45244 -0.39634229 0.84791688 -22.708740 48.582059
    Oben rechts KachelX + 1 57269 KachelY 45244 -0.39629435 0.84791688 -22.705994 48.582059
    Unten links KachelX 57268 KachelY + 1 45245 -0.39634229 0.84788516 -22.708740 48.580241
    Unten rechts KachelX + 1 57269 KachelY + 1 45245 -0.39629435 0.84788516 -22.705994 48.580241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84791688-0.84788516) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dl = 202.088119999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84791688-0.84788516) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dr = 202.088119999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39634229--0.39629435) × cos(0.84791688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661546720029414 × 6371000     		do = 202.053396509424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39634229--0.39629435) × cos(0.84788516) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.661570506649956 × 6371000     		du = 202.060661555605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84791688)-sin(0.84788516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661546720029414-0.661570506649956)×R²
    abs(-0.39629435--0.39634229)×2.37866205429205e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37866205429205e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37866205429205e-05×40589641000000     		ar = 40833.3251332995m²