Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57267 / 85076
↖ ↑ ↗
← S 47.197178°
W 22.711487°		 ← 207.49 m → S 47.197178°
W 22.708740°		 →
↑
207.50 m
↓
↑
207.50 m
↓
S 47.199044°
W 22.711487°		 ← 207.48 m →
43 053 m²		 S 47.199044°
W 22.708740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436916351318359 y=0.649082183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436916351318359 × 217)
    floor (0.436916351318359 × 131072)
    floor (57267.5)     		tx = 57267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649082183837891 × 217)
    floor (0.649082183837891 × 131072)
    floor (85076.5)     		ty = 85076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57267 / 85076 ti = "17/57267/85076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57267/85076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57267 ÷ 217
    57267 ÷ 131072     		x = 0.436912536621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85076 ÷ 217
    85076 ÷ 131072     		y = 0.649078369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436912536621094 × 2 - 1) × π
    -0.126174926757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.39639022
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649078369140625 × 2 - 1) × π
    -0.29815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.936687018575897
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39639022} λ = -0.39639022}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936687018575897))-π/2
    2×atan(0.391924124225615)-π/2
    2×0.373525086952882-π/2
    0.747050173905763-1.57079632675     		φ = -0.82374615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39639022} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.711487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82374615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.197178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57267 KachelY 85076 -0.39639022 -0.82374615 -22.711487 -47.197178
    Oben rechts KachelX + 1 57268 KachelY 85076 -0.39634229 -0.82374615 -22.708740 -47.197178
    Unten links KachelX 57267 KachelY + 1 85077 -0.39639022 -0.82377872 -22.711487 -47.199044
    Unten rechts KachelX + 1 57268 KachelY + 1 85077 -0.39634229 -0.82377872 -22.708740 -47.199044
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82374615--0.82377872) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dl = 207.503470000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82374615--0.82377872) × R
    3.25700000000095e-05 × 6371000     		dr = 207.503470000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39639022--0.39634229) × cos(-0.82374615) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679477444726139 × 6371000     		do = 207.486611860914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39639022--0.39634229) × cos(-0.82377872) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.679453547874116 × 6371000     		du = 207.479314669669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82374615)-sin(-0.82377872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679477444726139-0.679453547874116)×R²
    abs(-0.39634229--0.39639022)×2.38968520234195e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38968520234195e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38968520234195e-05×40589641000000     		ar = 43053.4348472154m²