Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57266 / 30048
↖ ↑ ↗
← N 69.318320°
W 22.714233°		 ← 107.87 m → N 69.318320°
W 22.711487°		 →
↑
107.86 m
↓
↑
107.86 m
↓
N 69.317350°
W 22.714233°		 ← 107.87 m →
11 635 m²		 N 69.317350°
W 22.711487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436908721923828 y=0.229251861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436908721923828 × 217)
    floor (0.436908721923828 × 131072)
    floor (57266.5)     		tx = 57266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229251861572266 × 217)
    floor (0.229251861572266 × 131072)
    floor (30048.5)     		ty = 30048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57266 / 30048 ti = "17/57266/30048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57266/30048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57266 ÷ 217
    57266 ÷ 131072     		x = 0.436904907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30048 ÷ 217
    30048 ÷ 131072     		y = 0.229248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436904907226562 × 2 - 1) × π
    -0.126190185546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.39643816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.229248046875 × 2 - 1) × π
    0.54150390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.70118469371655
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39643816} λ = -0.39643816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70118469371655))-π/2
    2×atan(5.4804361856647)-π/2
    2×1.3903146219708-π/2
    2.7806292439416-1.57079632675     		φ = 1.20983292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39643816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.714233°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20983292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.318320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57266 KachelY 30048 -0.39643816 1.20983292 -22.714233 69.318320
    Oben rechts KachelX + 1 57267 KachelY 30048 -0.39639022 1.20983292 -22.711487 69.318320
    Unten links KachelX 57266 KachelY + 1 30049 -0.39643816 1.20981599 -22.714233 69.317350
    Unten rechts KachelX + 1 57267 KachelY + 1 30049 -0.39639022 1.20981599 -22.711487 69.317350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20983292-1.20981599) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dl = 107.861029999459m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20983292-1.20981599) × R
    1.69299999999151e-05 × 6371000     		dr = 107.861029999459m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39643816--0.39639022) × cos(1.20983292) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353175719012746 × 6371000     		do = 107.868955329429m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39643816--0.39639022) × cos(1.20981599) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.353191557942243 × 6371000     		du = 107.873792946192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20983292)-sin(1.20981599))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353175719012746-0.353191557942243)×R²
    abs(-0.39639022--0.39643816)×1.583892949647e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.583892949647e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.583892949647e-05×40589641000000     		ar = 11635.1175221469m²