Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57264 / 42482
↖ ↑ ↗
← N 53.353830°
W 22.719726°		 ← 182.26 m → N 53.353830°
W 22.716980°		 →
↑
182.27 m
↓
↑
182.27 m
↓
N 53.352191°
W 22.719726°		 ← 182.27 m →
33 222 m²		 N 53.352191°
W 22.716980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436893463134766 y=0.324115753173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436893463134766 × 217)
    floor (0.436893463134766 × 131072)
    floor (57264.5)     		tx = 57264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324115753173828 × 217)
    floor (0.324115753173828 × 131072)
    floor (42482.5)     		ty = 42482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57264 / 42482 ti = "17/57264/42482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57264/42482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57264 ÷ 217
    57264 ÷ 131072     		x = 0.4368896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42482 ÷ 217
    42482 ÷ 131072     		y = 0.324111938476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4368896484375 × 2 - 1) × π
    -0.126220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39653403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324111938476562 × 2 - 1) × π
    0.351776123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10513728384077
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39653403} λ = -0.39653403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10513728384077))-π/2
    2×atan(3.01963898799055)-π/2
    2×1.25099816579282-π/2
    2.50199633158565-1.57079632675     		φ = 0.93120000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39653403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.719726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93120000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.353830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57264 KachelY 42482 -0.39653403 0.93120000 -22.719726 53.353830
    Oben rechts KachelX + 1 57265 KachelY 42482 -0.39648610 0.93120000 -22.716980 53.353830
    Unten links KachelX 57264 KachelY + 1 42483 -0.39653403 0.93117139 -22.719726 53.352191
    Unten rechts KachelX + 1 57265 KachelY + 1 42483 -0.39648610 0.93117139 -22.716980 53.352191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93120000-0.93117139) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dl = 182.274309999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93120000-0.93117139) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dr = 182.274309999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39653403--0.39648610) × cos(0.93120000) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.596871608148689 × 6371000     		do = 182.261925913549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39653403--0.39648610) × cos(0.93117139) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.596894562759233 × 6371000     		du = 182.268935380022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93120000)-sin(0.93117139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596871608148689-0.596894562759233)×R²
    abs(-0.39648610--0.39653403)×2.29546105448009e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.29546105448009e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.29546105448009e-05×40589641000000     		ar = 33222.3056100645m²