Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57263 / 85067
↖ ↑ ↗
← S 47.180379°
W 22.722473°		 ← 207.60 m → S 47.180379°
W 22.719726°		 →
↑
207.57 m
↓
↑
207.57 m
↓
S 47.182246°
W 22.722473°		 ← 207.59 m →
43 089 m²		 S 47.182246°
W 22.719726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436885833740234 y=0.649013519287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436885833740234 × 217)
    floor (0.436885833740234 × 131072)
    floor (57263.5)     		tx = 57263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649013519287109 × 217)
    floor (0.649013519287109 × 131072)
    floor (85067.5)     		ty = 85067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57263 / 85067 ti = "17/57263/85067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57263/85067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57263 ÷ 217
    57263 ÷ 131072     		x = 0.436882019042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85067 ÷ 217
    85067 ÷ 131072     		y = 0.649009704589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436882019042969 × 2 - 1) × π
    -0.126235961914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39658197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.649009704589844 × 2 - 1) × π
    -0.298019409179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.936255586479317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39658197} λ = -0.39658197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.936255586479317))-π/2
    2×atan(0.39209324935261)-π/2
    2×0.37367168434036-π/2
    0.747343368680721-1.57079632675     		φ = -0.82345296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39658197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.722473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82345296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.180379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57263 KachelY 85067 -0.39658197 -0.82345296 -22.722473 -47.180379
    Oben rechts KachelX + 1 57264 KachelY 85067 -0.39653403 -0.82345296 -22.719726 -47.180379
    Unten links KachelX 57263 KachelY + 1 85068 -0.39658197 -0.82348554 -22.722473 -47.182246
    Unten rechts KachelX + 1 57264 KachelY + 1 85068 -0.39653403 -0.82348554 -22.719726 -47.182246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82345296--0.82348554) × R
    3.25799999999488e-05 × 6371000     		dl = 207.567179999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82345296--0.82348554) × R
    3.25799999999488e-05 × 6371000     		dr = 207.567179999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39658197--0.39653403) × cos(-0.82345296) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679692527965453 × 6371000     		do = 207.595593326424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39658197--0.39653403) × cos(-0.82348554) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.679668630267615 × 6371000     		du = 207.588294354377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82345296)-sin(-0.82348554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.679692527965453-0.679668630267615)×R²
    abs(-0.39653403--0.39658197)×2.38976978385042e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38976978385042e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38976978385042e-05×40589641000000     		ar = 43089.2743775445m²