Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57263 / 42491
↖ ↑ ↗
← N 53.339073°
W 22.722473°		 ← 182.36 m → N 53.339073°
W 22.719726°		 →
↑
182.34 m
↓
↑
182.34 m
↓
N 53.337434°
W 22.722473°		 ← 182.37 m →
33 252 m²		 N 53.337434°
W 22.719726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57263 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436885833740234 y=0.324184417724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436885833740234 × 217)
    floor (0.436885833740234 × 131072)
    floor (57263.5)     		tx = 57263
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324184417724609 × 217)
    floor (0.324184417724609 × 131072)
    floor (42491.5)     		ty = 42491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57263 / 42491 ti = "17/57263/42491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57263/42491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57263 ÷ 217
    57263 ÷ 131072     		x = 0.436882019042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42491 ÷ 217
    42491 ÷ 131072     		y = 0.324180603027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436882019042969 × 2 - 1) × π
    -0.126235961914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.39658197
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324180603027344 × 2 - 1) × π
    0.351638793945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.10470585174419
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39658197} λ = -0.39658197}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10470585174419))-π/2
    2×atan(3.01833649979885)-π/2
    2×1.25086938872338-π/2
    2.50173877744676-1.57079632675     		φ = 0.93094245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39658197} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.722473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93094245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.339073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57263 KachelY 42491 -0.39658197 0.93094245 -22.722473 53.339073
    Oben rechts KachelX + 1 57264 KachelY 42491 -0.39653403 0.93094245 -22.719726 53.339073
    Unten links KachelX 57263 KachelY + 1 42492 -0.39658197 0.93091383 -22.722473 53.337434
    Unten rechts KachelX + 1 57264 KachelY + 1 42492 -0.39653403 0.93091383 -22.719726 53.337434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93094245-0.93091383) × R
    2.86199999999237e-05 × 6371000     		dl = 182.338019999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93094245-0.93091383) × R
    2.86199999999237e-05 × 6371000     		dr = 182.338019999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39658197--0.39653403) × cos(0.93094245) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.597078230184211 × 6371000     		do = 182.363060291995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39658197--0.39653403) × cos(0.93091383) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.597101188417518 × 6371000     		du = 182.370072327391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93094245)-sin(0.93091383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597078230184211-0.597101188417518)×R²
    abs(-0.39653403--0.39658197)×2.29582333065581e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.29582333065581e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.29582333065581e-05×40589641000000     		ar = 33252.3586172553m²