Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57261 / 29992
↖ ↑ ↗
← N 69.372574°
W 22.727966°		 ← 107.58 m → N 69.372574°
W 22.725220°		 →
↑
107.61 m
↓
↑
107.61 m
↓
N 69.371606°
W 22.727966°		 ← 107.58 m →
11 576 m²		 N 69.371606°
W 22.725220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436870574951172 y=0.228824615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436870574951172 × 217)
    floor (0.436870574951172 × 131072)
    floor (57261.5)     		tx = 57261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.228824615478516 × 217)
    floor (0.228824615478516 × 131072)
    floor (29992.5)     		ty = 29992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57261 / 29992 ti = "17/57261/29992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57261/29992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57261 ÷ 217
    57261 ÷ 131072     		x = 0.436866760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29992 ÷ 217
    29992 ÷ 131072     		y = 0.22882080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436866760253906 × 2 - 1) × π
    -0.126266479492188 × 3.1415926535     		Λ = -0.39667784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22882080078125 × 2 - 1) × π
    0.5423583984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70386916009528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39667784} λ = -0.39667784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70386916009528))-π/2
    2×atan(5.49516799702511)-π/2
    2×1.39078807129917-π/2
    2.78157614259835-1.57079632675     		φ = 1.21077982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39667784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.727966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21077982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.372574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57261 KachelY 29992 -0.39667784 1.21077982 -22.727966 69.372574
    Oben rechts KachelX + 1 57262 KachelY 29992 -0.39662991 1.21077982 -22.725220 69.372574
    Unten links KachelX 57261 KachelY + 1 29993 -0.39667784 1.21076293 -22.727966 69.371606
    Unten rechts KachelX + 1 57262 KachelY + 1 29993 -0.39662991 1.21076293 -22.725220 69.371606
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21077982-1.21076293) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dl = 107.606189999593m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21077982-1.21076293) × R
    1.68899999999361e-05 × 6371000     		dr = 107.606189999593m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39667784--0.39662991) × cos(1.21077982) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352289681884009 × 6371000     		do = 107.575892408221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39667784--0.39662991) × cos(1.21076293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.352305489032895 × 6371000     		du = 107.580719311293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21077982)-sin(1.21076293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.352289681884009-0.352305489032895)×R²
    abs(-0.39662991--0.39667784)×1.58071488857714e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58071488857714e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58071488857714e-05×40589641000000     		ar = 11576.091620484m²