Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57260 / 81124
↖ ↑ ↗
← S 39.308800°
W 22.730713°		 ← 236.32 m → S 39.308800°
W 22.727966°		 →
↑
236.30 m
↓
↑
236.30 m
↓
S 39.310925°
W 22.730713°		 ← 236.31 m →
55 842 m²		 S 39.310925°
W 22.727966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57260 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 81124 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436862945556641 y=0.618930816650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436862945556641 × 217)
    floor (0.436862945556641 × 131072)
    floor (57260.5)     		tx = 57260
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.618930816650391 × 217)
    floor (0.618930816650391 × 131072)
    floor (81124.5)     		ty = 81124
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57260 / 81124 ti = "17/57260/81124"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57260/81124.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57260 ÷ 217
    57260 ÷ 131072     		x = 0.436859130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 81124 ÷ 217
    81124 ÷ 131072     		y = 0.618927001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436859130859375 × 2 - 1) × π
    -0.12628173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.39672578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.618927001953125 × 2 - 1) × π
    -0.23785400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.747240391277435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39672578} λ = -0.39672578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.747240391277435))-π/2
    2×atan(0.473671899895504)-π/2
    2×0.442364168318625-π/2
    0.884728336637249-1.57079632675     		φ = -0.68606799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39672578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.730713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.68606799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.308800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57260 KachelY 81124 -0.39672578 -0.68606799 -22.730713 -39.308800
    Oben rechts KachelX + 1 57261 KachelY 81124 -0.39667784 -0.68606799 -22.727966 -39.308800
    Unten links KachelX 57260 KachelY + 1 81125 -0.39672578 -0.68610508 -22.730713 -39.310925
    Unten rechts KachelX + 1 57261 KachelY + 1 81125 -0.39667784 -0.68610508 -22.727966 -39.310925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.68606799--0.68610508) × R
    3.70900000000729e-05 × 6371000     		dl = 236.300390000464m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.68606799--0.68610508) × R
    3.70900000000729e-05 × 6371000     		dr = 236.300390000464m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39672578--0.39667784) × cos(-0.68606799) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773742917118655 × 6371000     		do = 236.321003030569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39672578--0.39667784) × cos(-0.68610508) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.773719420081752 × 6371000     		du = 236.313826430685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.68606799)-sin(-0.68610508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.773742917118655-0.773719420081752)×R²
    abs(-0.39667784--0.39672578)×2.34970369031862e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34970369031862e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34970369031862e-05×40589641000000     		ar = 55841.8972712636m²