Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 57258 / 86153
↖ ↑ ↗
← S 49.169135°
W 22.736206°		 ← 199.70 m → S 49.169135°
W 22.733460°		 →
↑
199.67 m
↓
↑
199.67 m
↓
S 49.170930°
W 22.736206°		 ← 199.69 m →
39 872 m²		 S 49.170930°
W 22.733460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 57258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.436847686767578 y=0.657299041748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.436847686767578 × 217)
    floor (0.436847686767578 × 131072)
    floor (57258.5)     		tx = 57258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657299041748047 × 217)
    floor (0.657299041748047 × 131072)
    floor (86153.5)     		ty = 86153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 57258 / 86153 ti = "17/57258/86153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/57258/86153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 57258 ÷ 217
    57258 ÷ 131072     		x = 0.436843872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86153 ÷ 217
    86153 ÷ 131072     		y = 0.657295227050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.436843872070312 × 2 - 1) × π
    -0.126312255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.39682166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657295227050781 × 2 - 1) × π
    -0.314590454101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.988315059466698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.39682166} λ = -0.39682166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.988315059466698))-π/2
    2×atan(0.372203303404032)-π/2
    2×0.35631652031017-π/2
    0.71263304062034-1.57079632675     		φ = -0.85816329
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.39682166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -22.736206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85816329 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.169135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 57258 KachelY 86153 -0.39682166 -0.85816329 -22.736206 -49.169135
    Oben rechts KachelX + 1 57259 KachelY 86153 -0.39677372 -0.85816329 -22.733460 -49.169135
    Unten links KachelX 57258 KachelY + 1 86154 -0.39682166 -0.85819463 -22.736206 -49.170930
    Unten rechts KachelX + 1 57259 KachelY + 1 86154 -0.39677372 -0.85819463 -22.733460 -49.170930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85816329--0.85819463) × R
    3.13399999999353e-05 × 6371000     		dl = 199.667139999588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85816329--0.85819463) × R
    3.13399999999353e-05 × 6371000     		dr = 199.667139999588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.39682166--0.39677372) × cos(-0.85816329) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.653828303895358 × 6371000     		do = 199.695993550285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.39682166--0.39677372) × cos(-0.85819463) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.653804590384313 × 6371000     		du = 199.688750833626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85816329)-sin(-0.85819463))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.653828303895358-0.653804590384313)×R²
    abs(-0.39677372--0.39682166)×2.37135110441322e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37135110441322e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37135110441322e-05×40589641000000     		ar = 39872.0048385986m²